分解质因数题目

以sqrt(n)​ 为时间复杂度的算法并不多见，最具代表性的就是分解质因数了。

235. 分解质因数

中文

English

将一个整数分解为若干质因数之乘积。

样例

样例 1：

输入：10
输出：[2, 5]

样例 2：

输入：660
输出：[2, 2, 3, 5, 11]

注意事项

你需要从小到大排列质因子。

class Solution:
    """
    @param num: An integer
    @return: an integer array
    """
    def primeFactorization(self, num):
        # write your code here
        result = []
        k = 2
        while k*k <= num:
            if num % k == 0:
                num = num//k
                result.append(k)
            else:
                k += 1
        if num > 1:
            result.append(num)
        return result

题目描述

http://www.lintcode.com/problem/prime-factorization/

具体步骤

1. 记up=[n]up = [sqrt{n}]up=[n

1. ​]，作为质因数k的上界, 初始化k=2k=2k=2。
2. 当k<=upk <= upk<=up 且 n不为1 时，执行步骤3，否则执行步骤4。
3. 当n被k整除时，不断整除并覆盖n，同时结果中记录k，直到n不能整出k为止。之后k自增，执行步骤2。
4. 当n不为1时，把n也加入结果当中，算法结束。

几点解释

• 不需要判定k是否为质数，如果k不为质数，且能整出n时，n早被k的因数所除。故能整除n的k必是质数。
• 为何引入up？为了优化性能。当k大于up时，k已不可能整除n，除非k是n自身。也即为何步骤4判断n是否为1，n不为1时必是比up大的质数。
• 步骤2中，也判定n是否为1，这也是为了性能，当n已为1时，可早停。

代码

Java:

public List<Integer> primeFactorization(int n) {
    List<Integer> result = new ArrayList<>();
    int up = (int) Math.sqrt(n);
    
    for (int k = 2; k <= up && n > 1; ++k) {
        while (n % k == 0) {
            n /= k;
            result.add(k);
        }
    }
    
    if (n > 1) {
        result.add(n);
    }
    
    return result;
}

Python:

def primeFactorization(n):
    result = []
    up = int(math.sqrt(n));
    
    k = 2
    while k <= up and n > 1: 
        while n % k == 0:
            n //= k
            result.append(k)
        k += 1
            
    if n > 1:
        result.append(n)
        
    return result

C++:

vector<int> primeFactorization(int n) {
    vector<int> result;
    int up = (int)sqrt(n);
    
    for (int k = 2; k <= up && n > 1; ++k) {
        while (n % k == 0) {
            n /= k;
            result.push_back(k);
        }
    }
    
    if (n > 1) {
        result.push_back(n);
    }
    
    return result;
}

复杂度分析

• 最坏时间复杂度 O(n)O(sqrt{n})O(n

• ​)。当n为质数时，取到其最坏时间复杂度。
• 空间复杂度 O(log(n))O(log(n))O(log(n))，当n质因数很多时，需要空间大，但总不会多于O(log(n))O(log(n))O(log(n))个。

延伸

质因数分解有一种更快的算法，叫做Pollard Rho快速因数分解。该算法时间复杂度为O(n1/4)O(n^{1/4})O(n1/4)，其理解起来稍有难度，有兴趣的同学可以进行自学，参考链接。