ARIMA模型实例讲解：时间序列预测需要多少历史数据？
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雷锋网按：本文源自美国机器学习专家 Jason Brownlee 的博客，雷锋网(公众号：雷锋网)编译。
时间序列预测，究竟需要多少历史数据？
显然，这个问题并没有一个固定的答案，而是会根据特定的问题而改变。
在本教程中，我们将基于 Python 语言，对模型输入大小不同的历史数据，对时间序列预测问题展开讨论，探究历史数据对 ARIMA 预测模型的性能影响。（雷锋网注：ARIMA 全程是 Autoregressive Integrated Moving Average Model，即自回归积分滑动平均模型）
具体来说，在本教程中，我们将：
● 加载标准数据集并输入 ARIMA 模型；
● 对历史数据年份进行敏感性分析；
● 分析敏感性分析的结果。
通过本例提供的模板，大家将可以根据各自特定的时间序列预测场景，展开类似的针对历史数据大小的敏感性分析。
加载数据集
本例中我们使用来自澳大利亚气象局的一份数据，该数据描述了墨尔本市 10 年（1981 - 1990年）内的每日最低气温，单位为摄氏度，观测值共 3650 次。
这里我们将下载好的数据集保存在 daily-minimum-temperature.csv 文件中。
这里需要注意的是，下载文件中有一些多余的“?”字符，可以通过文本编辑器打开并删除，否则模型无法处理。此外，文件中的脚注信息也需要删除。
以下代码展示了如何加载数据库，并生成 Pandas 库中的 Series 对象。
# line plot of time series
from pandas import Series
from matplotlib import pyplot
# load dataset
series = Series.from_csv('daily-minimum-temperatures.csv', header=0)
# display first few rows
print(series.head(20))
# line plot of dataset
series.plot()
pyplot.show()
运行代码后打印得到的前 20 行数据如下所示：
根据载入数据，可以得到如下图所示的温度变化曲线，从图头中可以看到明显的季节性变化。
搭建 ARIMA 预测模型
在本节中，我们将基于以上数据搭建一个 ARIMA 预测模型。
这里我们不会调整模型参数。而且，为了对数据平稳化并适配 ARIMA 模型，必须先删除数据中包含的明显的季节性变化趋势。
以下代码中，我们通过减去前一年数据的办法来获得数据的季节性差异。需要说明的是，这种方法是很粗糙的，因为它并没有考虑闰年的因素。而且，这也意味着第一年的数据将无法用于建模，因为第一年并没有更早的数据。
# seasonal difference
differenced = series.diff(365)
# trim off the first year of empty data
differenced = series[365:]
接下来，我们将数据导入 ARIMA(7,0,0) 模型，并打印输出汇总信息。
# fit model
model = ARIMA(differenced, order=(7,0,0))
model_fit = model.fit(trend='nc', disp=0)
print(model_fit.summary())
打印输出的汇总信息如下：
历史数据的敏感性分析
这一节我们将讨论历史数据大小对模型预测性能的影响。
上文提到，我们原本有 10 年的原始数据，但是由于季节性差异处理，因此只有 9 年的实际数据可用。为了进行历史数据大小的敏感性分析，这里我们将最后一年的数据作为测试样本，依次选择1年、2年一直到8年的剩余数据为训练样本，步进地进行测试，并逐日记录测试情况。根据记录数据，我们还计算了均方根误差（RMSE）来明确反应模型的性能表现。
下面这行代码将经过季节性调整的数据分为训练数据和测试数据。
train, test = differenced[differenced.index < '1990'], differenced['1990']
需要注意的是，这里根据自己的问题预测规模，选择合适的间隔很重要。本例中我们未来对历史数据量进行敏感性分析进行了步进操作。另外，鉴于数据的季节性，本例中一年是数据集的最好的时间间隔。但感兴趣的朋友根据问题域的变化也可以选择其他间隔，例如阅读或者多年时间间隔。
以下是具体代码：
# split
train, test = differenced[differenced.index < '1990'], differenced['1990']
years = ['1989', '1988', '1987', '1986', '1985', '1984', '1983', '1982']
for year in years:
# select data from 'year' cumulative to 1989
dataset = train[train.index >= year]
定好了数据之后，下一步是评估 ARIMA 模型。
具体的步进评估方法是：首先选取一个时间段的数据，并根据选定数据建模，训练，然后对下一段数据进行预测，预测后记录数据并计算正确率。接着，将真实的观察数据加入建模数据，建立新的模型并展开训练，对再下一段数据进行预测，并记录结果。依次进行，知道数据用完。
最终，预测结果将被集合在一起，与真实观察数据中的最后一年比较，计算出错误情况。在这种情况下，RMSE 将被用作预测得分，并将与观察结果的数量级等同。
具体代码如下：
# walk forward over time steps in test
values = dataset.values
history = [values[i] for i in range(len(values))]
predictions = list()
test_values = test.values
for t in range(len(test_values)):
# fit model
model = ARIMA(history, order=(7,0,0))
model_fit = model.fit(trend='nc', disp=0)
# make prediction
yhat = model_fit.forecast()[0]
predictions.append(yhat)
history.append(test_values[t])
rmse = sqrt(mean_squared_error(test_values, predictions))
print('%s-%s (%d values) RMSE: %.3f' % (years[0], year, len(values), rmse))
运行代码后的打印输出结果如下。需要注意的是，因为代码在每个历史训练数据间隔都创建了 356 个 ARIMA 模型，因此可能需要一些时间。
1989-1989 (365 values) RMSE: 2.336
1989-1988 (730 values) RMSE: 2.333
1989-1987 (1095 values) RMSE: 2.326
1989-1986 (1460 values) RMSE: 2.321
1989-1985 (1825 values) RMSE: 2.320
1989-1984 (2190 values) RMSE: 2.320
1989-1983 (2555 values) RMSE: 2.318
1989-1982 (2920 values) RMSE: 2.316
从结果可以看到，随着可用历史数据的增多，模型的误差总体呈下降趋势。
但同时也应该看到，在 4-5 年的时间段，不断增长历史数据的效果收益率实际上是递减的。也就是说，在历史数据不足或模型训练时间无法满足要求时，也可以根据实际需求，利用相对较少的历史数据，得到一个性价比最高的结果。
以下代码是根据测试数据绘制曲线图的过程。
from matplotlib import pyplot
x = [365, 730, 1095, 1460, 1825, 2190, 2555, 2920]
y = [2.336, 2.333, 2.326, 2.321, 2.320, 2.320, 2.318, 2.316]
pyplot.plot(x, y)
pyplot.show()
运行后得到的曲线如图所示。
从曲线图可以更清晰地看到总体上历史数据越多，预测结果就更精确这一变化趋势。因为历史数据越多，就意味着系数的优化越精确，符合数据变化的内在规律的可能性就越高。
但同时也可以从上图中看到另一个现象：大多数时候人们觉得历史数据越多，模型的表现就越好。但实际上，连续两年或三年的数据之间并没有什么根本性的差别，因此灵活选择时间跨度也至关重要。
局限性和扩展
我们通过本次教程为大家演示了如何设计、执行和分析基于时间序列预测的历史数据敏感性分析。现针对样例中的一些局限和可能的扩展项目整理如下：
1. 模型参数未调试。本例中我们使用的 ARIMA 模型并未针对问题域进行过任何的参数调节。在理想状态下，一个针对历史数据量的敏感性分析应该基于一个经过参数调节的 ARIMA 模型。
2. 统计学意义。上文中提到的，针对不同的历史数据，模型的不同预测表现是否具有统计学意义，目前尚不清楚。但 Pairwise 统计学显着性检验可用于评估 RMSE 的差异是否有意义。
3. 其他模型。本例中我们使用了 ARIMA 模型来进行历史数据的系数拟合。感兴趣的朋友可以换用其他模型进行类似的研究，各个模型对历史数据的敏感性和处理方式也各不相同。
4. 其他时间间隔。本例中我们以一年为时间间隔，但实际上也可以选择其他间隔。例如几个星期、几个月或者几年，要根据不同的问题域灵活选择。另外，如上文所述，还要考虑相邻时间段之间数据的相似性，这也是一个很重要的影响因素。