Leetcode#72 Edit Distance

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教科书般经典的动归题目，也可以看作是地图寻路问题。例如word1="ceab"，word2="abc"，构造如下地图。其中"^"表示起点，"$"表示终点，则题目转化成了寻找一条从起点到终点的最短路径。

           a b c  <- word2
word1 -> c ^ . .
         e . . .
         a . . .
         b . . $

对于地图上任意坐标为(i,j)的点，可以：

1. 向右走一步，表示跳过word2的一个字符，即删除一个word2的字符或向word1插入一个字符。

2. 向下走一步，表示跳过word1的一个字符，即删除一个word1的字符或向word2插入一个字符。

3. 向右下走一步，表示同时跳过word1和word2的一个字符，即修改一个word1或word2的字符，如果这两个字符本来就相等则不用修改。

令distance[i][j]表示从该点到终点的最短距离（也就是word1[i..n]和word2[j..m]的编辑距离），则有递推公式：

distance[i][j] = min{distance[i+1][j] + 1, distance[i][j+1] + 1, distance[i+1][j+1] + (word1[i] == word2[j] ? 0 : 1)}

具体实现中，由于递推公式只用到了相邻层的结果，所以可以压缩状态，用一维数组保存distance。

代码：

int minDistance(string word1, string word2) {
  int len1 = word1.length();
  int len2 = word2.length();

  if (len1 < len2)
    return minDistance(word2, word1);
  if (len2 == 0)
    return len1;

  vector<int> distance(len1 + 1, 0);
  for (int j = len2; j >= 0; j--)
    distance[j] = len2 - j;
  int rd = 0; // 表示distance[i+1][j+1]

  for (int i = len1 - 1; i >= 0; i--) {
    rd = distance[len2];
    distance[len2] = len1 - i;
    for (int j = len2 - 1; j >= 0; j--) {
      int tmp = distance[j];
      distance[j] = min(distance[j] + 1, distance[j + 1] + 1);
      distance[j] = min(distance[j], rd + (word1[i] == word2[j] ? 0 : 1));
      rd = tmp;
    }
  }

  return distance[0];
}