0x01算法设计与分析复习（一）习题解答

参考书籍：算法设计与分析——C++语言描述（第二版）

练习一

1. 逆序输出正整数的各位数（递归算法求解）

#include <stdio.h>
//逆序输出正整数的各位数（递归算法求解）
void print(unsigned int n)
{
    printf("%d", n%10);//基础情况
    if(n>=10){
        print(n/10);//递归部分
    }
}
int main()
{
    unsigned int n;
    scanf("%d", &n);
    print(n);

    return 0;
}

实验结果：

123456
654321
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1. 汉诺塔问题

//hanoi,汉诺塔问题求解
//将x柱上的n个圆盘经z柱移动到y柱上，任何时刻大盘不能在小盘上

#include <stdio.h>

void move(int n, char x, char y)//将圆盘x从x移到y上
{
    printf("move %d from %c to %c
", n, x, y);

}

void Hanoi(int n, char x, char z, char y)//将n个圆盘经z从x移到y
{
    if(n>0){
        Hanoi(n-1, x, y, z);//将n-1个盘从x移到z
        move(n, x, y);//将n盘从x移到y
        Hanoi(n-1, z, x, y);//将n-1个盘从z移到y
    }

}

int main()
{
    int n = 0;
    char x = 'X', y = 'Y', z = 'Z';
    scanf("%d", &n);

    Hanoi(n, x, z, y);

    return 0;
}

实验结果：

3
move 1 from X to Y
move 2 from X to Z
move 1 from Y to Z
move 3 from X to Y
move 1 from Z to X
move 2 from Z to Y
move 1 from X to Y

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1. 排列产生算法

//排列产生算法
//给定n个自然数{0, 1, 2, ..., n-1}，输出该集合所有可能的排列（permutation）

#include <stdio.h>
#include <stdlib.h>

int i = 0;
//arr[0]~arr[k-1]排好，求arr[k]到arr[n-1]的排列
void Perm(int arr[], int k, int n)
{
    if(k == n-1){
        for(int i = 0; i<n; i++)
            printf("%d ", arr[i]);
        printf("
");
        i++;
    } else if(k>=0){
        //从arr[k]~arr[n-1]中拿出一个加入到已经排好的队中
        for(int i = k; i<n; i++){
            int tmp = arr[k];
            arr[k] = arr[i];
            arr[i] = tmp;
            Perm(arr, k+1, n);
            arr[i] = arr[k];
            arr[k] = tmp;
        }
    }
}

int main()
{
    int *arr = NULL, n = 0;
    scanf("%d", &n);
    arr = (int *)malloc(sizeof(int)*n);
    for(int i = 0; i<n; i++)
        arr[i] = i;

    Perm(arr, 0, n);
    printf("%d
", i);
    return 0;
}

实验结果：

3
0 1 2
0 2 1
1 0 2
1 2 0
2 1 0
2 0 1
6

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1. 给出n!的递归定义式，并设计一个递归函数计算n!

/*n!的递归定义
  n! = n*(n-1)!,n>0;
  n! = 1,n = 0;
  */

#include <stdio.h>

int fact(int n)
{
    if(n == 0)
        return 0;
    else if(n>1){
        return n*fact(n-1);
    }
}
int main()
{
    int n = 0;
    scanf("%d", &n);

    printf("%d
", fact(n));

    return 0;
}

实验结果：

4
24

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1. 写一个递归算法和一个迭代算法计算二项式系数：
   
   Cmn=Cmn−1+Cm−1n−1=n!m!(n−m)!

#include <stdio.h>
#include <stdlib.h>
//递归算法
int func1(int n, int m)
{
    if (m > n)
        return 0;
    if (n == m || m == 0)
        return 1;
    else if (n>0 && m>0)
        return func1(n - 1, m) + func1(n - 1, m - 1);

}

//迭代算法
int func2(int n, int m)
{
    int i = 0, j = 0;
    int **record = (int **)malloc((n + 1) * sizeof(int *));
    for (i = 0; i<n+1; i++)
        record[i] = (int *)malloc((m + 1) * sizeof(int));
    //记录矩阵
    for (i = 0; i<n + 1; i++)
        for (j = 0; j<m + 1; j++) {
            if (i < j)
                record[i][j] = 0;
            if (i == j || j == 0)
                record[i][j] = 1;
            else if (i >0 && j> 0)
                record[i][j] = record[i - 1][j] + record[i - 1][j - 1];
        }
    return record[n][m];
}

int main()
{
    int n = 0, m = 0;
    scanf("%d %d", &n, &m);

    printf("%d
", func1(n, m));

    printf("%d
", func2(n, m));

    return 0;
}

实验结果：

4 2
function 1: 6
function 2: 6

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1. 给定一个字符串s和一个字符x，编写递归算法实现下列功能：
   （1）检查x是否在s中
   （2）计算x在s中出现的次数
   （3）删除s中所有的x

/*
给定一个字符串s和一个字符x，编写递归算法实现下列功能：
（1）检查x是否在s中
（2）计算x在s中出现的次数
（3）删除s中所有的x
*/

#include <stdio.h>
#include <string.h>
#include <stdlib.h>

//检查x是否在s中
void XinS(char *s, char x)
{
    if(s[0] != 0){
        if(x == s[0])
            printf("YES
");
        else {
            XinS(s+1, x);
        }
    } else 
        printf("NO
");

}

//计算x在s中出现的次数
int CountX(char *s, char x)
{
    int count = 0;
    if(s[0] != 0){
        if(s[0] == x)
            count++;
        count += CountX(s+1, x);
    }

    return count;
}

//删除s中所有的x
char *DelX(char *s, char x)
{
    static int j = 0;
    static char tmp[100] = {''};
    if(s[0] != 0){
        if(s[0] != x){
            tmp[j++] = s[0];
        }
        DelX(s+1, x);
    } else
        return tmp;
} 

int main()
{
    char x, s[100] = {''}, *tmp;
    scanf("%s", s);
    getchar();//接收空字符；
    scanf("%c", &x);
    //(1)
    XinS(s, x);
    //(2)
    printf("%d
", CountX(s,x));
    //(3)
    tmp = DelX(s,x);
    memcpy(s, tmp, strlen(tmp)+1);
    printf("%s
", s);
    return 0;
}

实验结果：

asdfgts
s
YES
2
adfgt

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1. 写一个C++函数求解：给定正整数n，确定n是否是它所有因子之和

//写一个C++函数求解：给定正整数n，确定n是否是它所有因子之和
//因子就是所有可以整除这个数的数,不包括这个数自身
int ex7(unsigned int n)
{
    int k=2, flag = n-1;
    while(k*k<n){
        if(n%k == 0){
            flag -= k;
            flag -= n/k;
        }
        k++;
    }
    if(k*k == n){
        flag -=k;
    }
    return (flag==0);
}

实验结果：

15
NO

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1. S是有n个元素的集合，S的幂集是S所有可能的子集组成的集合。例如，S=a,b,c,则S的幂集=(),(a),(b),(c),(a,b),(a,c),(b,c),(a,b,c)。写一个C++递归函数，以S为输入，输出S的幂集。

练习二

1. 矩阵转置
   （1）设计一个C/C++程序实现一个n×m的矩阵转置。原矩阵保存在二维数组中。
   （2）使用全局变量count，改写矩阵转置程序，并运行修改后的程序，以确定改程序的程序步
   （3）计算此程序的渐进时间复杂度

2. 证明：若f(n)=amnm+am−1nm−1+⋯+a1n+a0是m次多项式，且am>0，则f(n)=Ω(nm).

   解：不妨令c=12max{a0,a1,⋯,am},n0=2,当n≥n0时，有
   

   cg(n)≤12(nm+nm−1+⋯+n+1)≤12(nm+1−nm1−n)≤nm
   
   根据定义有：f(n)=Ω(nm)。

3. 运用主定理求T(n)=2T(n/4)+n√,T(1)=3的渐进界

   解：根据主定理，a=2,b=4,f(n)=n√,log24=12,显然f(n)=n√=Θ(nlogab),所以

T(n)=Θ(nlogablogn)=Θ(n√logn)