四边形不等式优化dp

摘自百度百科:http://baike.baidu.com/link?url=Jp9yFYcnnuDrvSWgq_dbq0-kGkEDBS7jmpktp7V310DC7zxpNTM5aAQbFpi35AORkTgOz_e5woBJcaqqvZsbJg3rmc_14O6akbmNIQMEj5q59ZgT9YrdTMAcMYLaz6tt3Qndl3rOS4feKb_1M8PZHK 

感觉挺详细的。QAQ  

四边形不等式是一种比较常见的优化动态规划的方法

如果对于任意的a1≤a2<b1≤b2，有m[a1,b1]+m[a2,b2]≤m[a1,b2]+m[a2,b1]，那么m[i,j]满足四边形不等式。

(其实想想这个是很正确的，如果按照四个点分别建立一个四边形的话，那么这个式子所代表的就是对角线大于等于相互对立的边，证明方法就是划分成三角形，对角线便是三角形的斜边，自然大于，对于刚好成一条直线情况，此时刚好取到等于号)

四边形不等式用于DP优化

设m[i,j]表示动态规划的状态量。

m[i,j]有类似如下的状态转移方程：

m[i,j]=min{m[i,k]+m[k,j]}(i≤k≤j)

m满足四边形不等式是适用这种优化方法的必要条件

对于一道具体的题目，我们首先要证明它满足这个条件，一般来说用数学归纳法证明，根据题目的不同而不同。

通常的动态规划的复杂度是O(n^3)，我们可以优化到O(n^2)

定义s(i,j)为函数m(i,j)对应的使得m(i,j)取得最大值的k值。

我们可以证明，s[i,j-1]≤s[i,j]≤s[i+1,j]

那么改变状态转移方程为：

m[i,j]=min{m[i,k]+m[k,j]}(s[i,j-1]≤k≤s[i+1,j])

复杂度分析：不难看出，复杂度决定于s的值，以求m[i,i+L]为例，

(s[2,L+1]-s[1,L])+(s[3,L+2]-s[2,L+1])…+(s[n-L+1,n]-s[n-L,n-1])=s[n-L+1,n]-s[1,L]≤n

所以总复杂度是O(n)

证明

对s[i,j-1]≤s[i,j]≤s[i+1,j]的证明：

设mk[i,j]=m[i,k]+m[k,j]，s[i,j]=d

对于任意k<d，有mk[i,j]≥md[i,j]（这里以m[i,j]=min{m[i,k]+m[k,j]}为例,max的类似），接下来只要证明mk[i+1,j]≥md[i+1,j]，那么只有当s[i+1,j]≥s[i,j]时才有可能有ms[i+1,j][i+1,j]≤md[i+1,j]

(mk[i+1,j]-md[i+1,j])-(mk[i,j]-md[i,j])

=(mk[i+1,j]+md[i,j])-(md[i+1,j]+mk[i,j])

=(m[i+1,k]+m[k,j]+m[i,d]+m[d,j])-(m[i+1,d]+m[d,j]+m[i,k]+m[k,j])

=(m[i+1,k]+m[i,d])-(m[i+1,d]+m[i,k])

∵m满足四边形不等式，∴对于i<i+1≤k<d有m[i+1,k]+m[i,d]≥m[i+1,d]+m[i,k]

∴(mk[i+1,j]-md[i+1,j])≥(mk[i,j]-md[i,j])≥0

∴s[i,j]≤s[i+1,j]，同理可证s[i,j-1]≤s[i,j]

证毕

扩展

以上所给出的状态转移方程只是一种比较一般的，其实，很多状态转移方程都满足四边形不等式优化的条件。

解决这类问题的大概步骤是：

1. 证明w满足四边形不等式，这里w是m的附属量，形如m[i,j]=opt{m[i,k]+m[k,j]+w[i,j]}，此时大多要先证明w满足条件才能进一步证明m满足条件
2. 证明m满足四边形不等式
3. 证明s[i,j-1]≤s[i,j]≤s[i+1,j]