最大化平均值

n个物品的重量和价值分别是wi和vi。从中选取k个物品使单位重量的价值最大

输入

n = 3

k = 2

(w, v) = { (2, 2), (5, 3), (2, 1) }

输出

0.75（选择0和2号物品，平均价值是(2+1)/(2+2) = 0.75）

一般最先想到的方法可能是把物品按照单位价值排序，从大到小贪心的选取。但是这个方法对于样例得到结果是5/7 = 0.714。

实际上，对于这个问题使用二分搜索法可以很好的解决。我们定义

条件C(x):=可以选择使单位重量的价值不小于x

因此原问题就变成求满足C(x)的最大x。假设我们选了某个物品的集合S，那么它们的单位重量价值为

∑vi / ∑wi

因此变成判断是否存在S满足下面的条件

∑vi / ∑wi >= x，即 ∑(vi - x * wi) >= 0

因此，可以对(vi - x * wi)进行排序贪心地选取

C(x) = （(vi - x * wi)从大到小排列中的前k个的和不小于0）

每次判断的复杂度为O(nlogn)。

#include <iostream>
#include <algorithm>
#include <cstdio>
using namespace std;

#define INF        1000
#define MAX_N    1000

int n, k;
int w[MAX_N], v[MAX_N];
double y[MAX_N];

//判断是否满足条件
bool C(double x)
{
    for (int i = 0; i < n; i++)
    {
        y[i] = v[i] - x * w[i];
    }
    sort(y, y+n);

    //计算y数组中从大到小前k个数的和
    double sum = 0;
    for (int i = 0; i < k; i++)
    {
        sum += y[n-i-1];
    }
    return sum >= 0;
}

void solve()
{
    double lb = 0, ub = INF;
    for (int i = 0; i < 100; i++)
    {
        double mid = (lb + ub) / 2;
        if (C(mid)) lb = mid;
        else ub = mid;
    }
    printf("%.2f
", ub);
}


int main()
{
    cin >> n >> k;
    for (int i = 0; i < n; i++)
    {
        cin >> w[i] >> v[i];
    }
    solve();
    return 0;
}