题意
解下列方程
((x+y) equiv b mod p)
((x * y) equiv c mod p)
题解
(y = b-x) 带入二式
(x * (b-x) equiv c mod p)
(bx - x^2 =c + kp)
(x^2 - bx + c + kp = 0)
解得(x = frac{b pm sqrt{b^2 - 4c+kp} }{2})
要使(x)为整数则(sqrt{b^2 - 4c+kp})要为整数
令(z = sqrt{b^2 - 4c+kp})
(z^2 = b^2 - 4c+kp)
(z^2 equiv b^2 - 4c mod p)
问题就变成了二次剩余
先判断是否有解也就是(b^2-4c)是否是(p)的二次剩余
利用欧拉准则:当且仅当(d^{frac{p-1}{2}} equiv 1 mod p),(d)为(p)的二次剩余
当且仅当(d^{frac{p-1}{2}} equiv -1 mod p),(d)为(p)的非二次剩余
接下来套二次剩余板子求(z)即可,有一种特殊情况当(p \% 4 = 3)时可以用公式(z = d^{frac{p+1}{4}} \% p)快速求解
现在(x = frac{b + z}{2}, y = frac{b - z}{2}),可能不是整数,我们对x和y都乘上一个偶数(p+1)就可以保证x,y是整数且仍然满足题目的两个方程,因为
((x+y)*(p+1) \% p =(x+y) \% p * (p+1) \% p = b*1 = b)
(x*(p+1)*y*(p+1)\%p = (x*y)\%p * (p^2+2p+1)\%p = c*1 = c)
*顺带扒了一下咖啡鸡的板子
代码
#include <bits/stdc++.h>
using namespace std;
typedef long long ll;
const ll mod = 1e9+7;
ll pow_mod(ll a, ll b) {
ll ans = 1;
while (b > 0) {
if (b & 1) ans = ans * a % mod;
a = a * a % mod;
b /= 2;
}
return ans;
}
int main() {
int T;
scanf("%d", &T);
while (T--) {
ll b, c;
scanf("%lld%lld", &b, &c);
ll t = ((b*b - 4*c) % mod + mod) % mod;
if (pow_mod(t, (mod-1)/2) == mod-1) puts("-1 -1");
else {
ll z = pow_mod(t, (mod+1)/4);
ll x = ((b + z) % mod + mod) % mod;
ll y = ((b - z) % mod + mod) % mod;
x = x * (mod+1) / 2 % mod;
y = y * (mod+1) / 2 % mod;
if (x > y) swap(x, y);
printf("%lld %lld
", x, y);
}
}
return 0;
}
二次剩余模板
//调用solve(d, p)返回x
mt19937_64 gen(time(0));
struct T{ll x,y;};
ll w;
T mul_two(T a,T b,ll p){
T ans;
ans.x=(a.x*b.x%p+a.y*b.y%p*w%p)%p;
ans.y=(a.x*b.y%p+a.y*b.x%p)%p;
return ans;
}
T qpow_two(T a,ll n,ll p){
T ans;
ans.x=1;
ans.y=0;
while(n){
if(n&1) ans=mul_two(ans,a,p);
n>>=1;
a=mul_two(a,a,p);
}
return ans;
}
ll qpow(ll a,ll n,ll p){
ll ans=1;
a%=p;
while(n){
if(n&1) ans=ans*a%p;
n>>=1;
a=a*a%p;
}
return ans%p;
}
ll Legendre(ll a,ll p){
return qpow(a,(p-1)>>1,p);
}
int solve(ll n,ll p){
if (n==0) return 0;
if (n==1) return 1;
if(Legendre(n,p)+1==p) return -1;
ll a,t;
while(1){
a=gen()%p;
t=a*a-n;
w=(t%p+p)%p;
if(Legendre(w,p)+1==p) break;
}
T tmp;
tmp.x=a;
tmp.y=1;
T ans=qpow_two(tmp,(p+1)>>1,p);
return ans.x;
}