容斥原理学习笔记

容斥原理

1. 容斥原理式子

[|S_1 cup S_2 cup S_3 cdots cup S_n| = sum_{1<i<n}|S_i| - sum_{i<i<j<m}|S_i cap S_j| + sum_{1<i<j<k<m}|S_i cap S_j cap S_k| - cdots + (-1)^{n-1}|S_i cap S_j cap S_k cap cdots cap S_n| ]

2. 一个不太严谨的证明

    我们在(|S_1 cup S_2 cup S_3 cdots cup S_n|)中设一个元素为(x)，(x)在所有(S)集合中出现了(k)次((1<k<n))。则(x)在(sum_{1<i<n}|S_i|)会被加(k)次，即(C^{1}_{k})，在(sum_{i<i<j<m}|S_i cap S_j|)中会被减去(C^{2}_{k})次，以此我们可以得到以下柿子：

[C^{1}_{k} - C^{2}_{k} + C^{3}_{k} - cdots + (-1)^{k-1}C^{k}_{k} ]

由(sum^{n}_{i}C^{i}_{n})可知这个式子一定是等于(1)的，即(x)在(|S_1 cup S_2 cup S_3 cdots cup S_n|)中只会出现一次。

3. 一道简单的例题：AcWing890.能被整除的数

题比较简单，容斥+状压

#include<bits/stdc++.h>
using namespace std;
int p[1000];
int main()
{
    int n,m;
    cin>>n>>m;
    for(int i=1;i<=m;i++)
    {
        cin>>p[i];
    }
    int res=0;
    for(int i=1;i<=(1<<m)-1;i++)
    {
        int t=1,cnt=0;
        for(int j=0;j<m;j++)
        {
            if(i>>j&1)
            {
                cnt++;
                if((long long)t*p[j+1]>n)
                {
                    t=-1;
                    break;
                }
                t*=p[j+1];
            }
        }
        if(t!=-1)
        {
            if(cnt%2) res+=n/t;
            else res-=n/t;
        }
    }
    cout<<res;
    return 0;
}