定义
- 函数 (f:mathbb{R}^n omathbb{R},) 它在点 (x in mathbb{R}^n)上的梯度定义为 (mathrm{grad}_x(f):=left[frac{partial f}{partial x_1},frac{partial f}{partial x_2},dotsfrac{partial f}{partial x_n} ight]!igg vert_x)(, 是)n(维行向量。以)( abla f(x):=left(frac{partial f}{partial x_1},frac{partial f}{partial x_2},dots,frac{partial f}{partial x_n} ight)!igg vert_xinmathbb{R}^n) 表示列向量。
- 多值函数 (f:mathbb{R}^n omathbb{R}^m,) 它在点 (x in mathbb{R}^n)上的 Jacobian 矩阵定义为 (mathrm{Jac}_x(f)=left.egin{bmatrix}frac{partial f_1}{partial x_1}&frac{partial f_1}{partial x_2}&dots&frac{partial f_1}{partial x_n}\frac{partial f_2}{partial x_1}&frac{partial f_2}{partial x_2}&dots&frac{partial f_2}{partial x_n}\ vdots&vdots & & vdots\frac{partial f_m}{partial x_1}&frac{partial f_m}{partial x_2}&dots&frac{partial f_m}{partial x_n}\end{bmatrix} ight|_x), 是(m imes n)的矩阵。
- 从微分的角度, 上述符号有一致性, ({ m d}f = mathrm{grad}_x(f) { m d}x = langle abla f, { m d}x angle)， ({ m d}f = mathrm{Jac}_x(f) { m d}x), 这里微分(mathrm{d}x)定义为列向量。
- 回顾Jacobian行列式，它用于多元积分中的换元公式 (dx\,dy\,dz = left|frac{partial (x,y,z)}{partial(u,v,w)} ight|\,du\,dv\,dw).