数值分析之拉格朗日插值算法详解

 

 

数值分析之拉格朗日插值方法详解

数据点通用格式

x0	x1	x2	…	xn
y0	y1	y2	…	yn

n=1，两个数据点

当n=1，自由度为1，一个未知数表示直线拟合
数据点两个

x0	x1
y0	y1

系数方程如下：
l0(x)=x−x1x0−x1
l1(x)=x−x0x1−x0
拟合多项式为：P1(x)=y0l0(x)+y1l1(x)

n=2，三个数据点

当n=2，自由度为2，2个未知数表示二次多项式拟合
数据点3个

x0	x1	x2
y0	y1	y2

系数方程如下：
l0(x)=(x−x1)(x−x2)(x0−x1)(x0−x2)
l1(x)=(x−x0)(x−x2)(x1−x0)(x1−x2)
l2(x)=(x−x0)(x−x1)(x2−x0)(x2−x1)
拟合多项式为：P1(x)=y0l0(x)+y1l1(x)+y2l2(x)

n=3，四个数据点

当n=3，自由度为3，3个未知数表示3次多项式拟合
数据点4个

x0	x1	x2	x3
y0	y1	y2	y3

系数方程如下：
l0(x)=(x−x1)(x−x2)(x−x3)(x0−x1)(x0−x2)(x0−x3)
l1(x)=(x−x0)(x−x2)(x−x3)(x1−x0)(x1−x2)(x1−x3)
l2(x)=(x−x0)(x−x1)(x−x3)(x2−x0)(x2−x1)(x2−x3)
l3(x)=(x−x0)(x−x1)(x−x2)(x3−x0)(x3−x1)(x3−x2)
拟合多项式为：P1(x)=y0l0(x)+y1l1(x)+y2l2(x)+y3l3(x)

n=i，通项公式

数据点共n+1个

x0	x1	x2	…	xi−1	xi	xi+1	…	xn
y0	y1	y2	…	yi−1	yi	yi+1	…	xn

系数方程：

li(x)=(x−x0)(x−x1)…(x−xi−1)(x−xi+1)…(x−xn)(xi−x0)(xi−x1)…(xi−xi−1)(xi−xi+1)…(xi−xn)=∏j=0,j≠inx−xixi−xj.

其中i=0,1,…,n。
拟合多项式为：

Pn(x)=∑i=0nyili(x)

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