数值分析之Neville's Algorithm

 

 

Neville插值方法详解

牛顿的插值方法涉及两个步骤：计算系数，随后评估多项式。 如果插值运作良好使用相同的多项式在x的不同值处重复执行。 要是一点是内插，一种单步计算插值的方法，如Neville的算法，是一个更方便的选择。

4个数据点的表格

	k=0	k=1	k=2	k=3
x0	P0[x0]=y0	P1[x0,x1]	P2[x0,x1,x2]	P3[x0,x1,x2,x3]
x1	P0[x1]=y1	P1[x1,x2]	P2[x1,x2,x3]
x2	P0[x2]=y2	P1[x2,x3]
x3	P0[x3]=y3

通项公式

Pk[xi,xi+1,⋯,xi+k]=(x−xi+k)Pk−1[xi,xi+1,⋯,xi+k−1]+(xi−x)Pk−1[xi+1,⋯,xi+k]xi−xi+k

4个数据点的计算公式

	k=0	k=1	k=2	k=3
x0	P0[x0]=y0	P1[x0,x1]=(x−x1)P0[x0]+(x0−x)P0[x1]x0−x1	P2[x0,x1,x2]=(x−x2)P1[x0,x1]+(x0−x)P1[x1,x2]x0−x2	P3[x0,x1,x2,x3]=(x−x3)P2[x0,x1,x2]+(x0−x)P2[x1,x2,x3]x0−x3
x1	P0[x1]=y1	P1[x1,x2]=(x−x2)P0[x1]+(x1−x)P0[x2]x1−x2	P2[x1,x2,x3]=(x−x3)P1[x1,x2]+(x1−x)P1[x2,x3]x1−x3
x2	P0[x2]=y2	P1[x2,x3]=(x−x3)P0[x2]+(x2−x)P0[x3]x2−x3
x3	P0[x3]=y3

Neville算法Python代码

import numpy as np
def neville(xData,yData,x):
    m = len(xData)
    A = np.zeros((m,m))  # A代表计算表格
    A[:,0]=np.array(np.array(yData))
    for k in range(1,m):
        for i in range(m-k):
            A[i,k]=((x-xData[i+1])*A[i,k-1]+(xData[i]-x)*A[i+1,k-1])/(xData[i]-xData[i+1])
    return A

案例分析

yData = [4.0, 3.9, 3.8, 3.7] 
xData = [-0.06604, -0.02724, 0.01282, 0.05383]
neville(xData,yData,0)

计算结果：

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