洛谷P1005 矩阵取数游戏

题目描述

帅帅经常跟同学玩一个矩阵取数游戏：对于一个给定的n×m的矩阵，矩阵中的每个元素ai,j​均为非负整数。游戏规则如下：

1. 每次取数时须从每行各取走一个元素，共n个。经过m次后取完矩阵内所有元素；
2. 每次取走的各个元素只能是该元素所在行的行首或行尾；
3. 每次取数都有一个得分值，为每行取数的得分之和，每行取数的得分 = 被取走的元素值×2^i，其中ii表示第i次取数（从1开始编号）；
4. 游戏结束总得分为m次取数得分之和。

帅帅想请你帮忙写一个程序，对于任意矩阵，可以求出取数后的最大得分。

输入输出格式

输入格式：

输入文件包括n+1行：

第1行为两个用空格隔开的整数n和m。

第2∽n+1行为n×m矩阵，其中每行有m个用单个空格隔开的非负整数。

输出格式：

输出文件仅包含1行，为一个整数，即输入矩阵取数后的最大得分。

输入输出样例

输入样例#1： 复制

2 3
1 2 3
3 4 2

输出样例#1： 复制

82

说明

NOIP 2007 提高第三题

数据范围：

60%的数据满足：1≤n,m≤30，答案不超过10^16
100%的数据满足：1≤n,m≤80，0≤ai,j​≤1000

/*
    这一道题区间DP简单题
    状态转移：f[i][j] = max(f[i+1][j] + map[i],f[i][j-1] + map[j])*2
    此处i,j表示一段i到j的区间 *2是因为每一次dp的过程都要多乘一个2,保证答案*2^i
    (好像不怎么好理解233333)
*/
#include <bits/stdc++.h>
#define ll long long

using namespace std;

const int maxn = 100;

ll dp[maxn][maxn],ans;
int n,m,x,mapp[maxn];

int main(){
    scanf("%d%d",&n,&m);
    for(int i = 1;i <= n;i++){
        memset(dp,0,sizeof(dp));
        for(int i = 1;i <= m;i++){
            scanf("%d",&mapp[i]);
            dp[i][i] = mapp[i] << 1;
        }
        for(int len = 1;len < m;len++){
            for(int l = 1;l <= m;l++){
                int r = l + len;
                dp[l][r] = max(dp[l+1][r] + mapp[l],dp[l][r-1] + mapp[r]) << 1;
            }
        }
        ans += dp[1][m];
    }
    printf("%lld
",ans);
    return 0;
}

/*
    和朴素算法的区别在于加了高精
    由于答案可能达到2^80 所以要用高精
    这里用的是封装的大整数类 效率可能比裸的高精慢
    思路来自刘汝佳的紫书
*/
#include <bits/stdc++.h>
#define ll long long

using namespace std;

const int maxn = 100;

int n,m,x,mapp[maxn];

struct BigInteger{
    static const int BASE = 100000000;
    static const int WIDTH = 8;
    vector<long long> s;

    BigInteger(long long num = 0) {*this = num;}
    BigInteger operator = (long long num) {
        s.clear();
        do{
            s.push_back(num % BASE);
            num /= BASE;
        }while(num > 0);
        return *this;
    }
    BigInteger operator = (const string& str){
        s.clear();
        int x,len = (str.length() - 1) / WIDTH + 1;
        for(int i = 0;i < len;i++){
            int end = str.length() - i*WIDTH;
            int start = max(0,end - WIDTH);
            sscanf(str.substr(start,end-start).c_str(),"%d",&x);
            s.push_back(x);
        }
        return *this;
    }
    BigInteger operator + (const BigInteger& b) const {
        BigInteger c;
        c.s.clear();
        for(int i = 0,g = 0;;i++){
            if(g == 0 && i >= s.size() && i >= b.s.size()) break;
            int x = g;
            if(i < s.size()) x += s[i];
            if(i < b.s.size()) x += b.s[i];
            c.s.push_back(x % BASE);
            g = x /BASE;
        }
        return c;
    }
    BigInteger operator * (const BigInteger& b) const {
        BigInteger c;
        c.s.resize(s.size() + b.s.size());
        for(int i=0; i<s.size(); i++)
            for(int j = 0; j < b.s.size(); j++)
            c.s[i+j] += s[i] * b.s[j];
        for(int i=0; i<c.s.size()-1; i++) {
            c.s[i+1] += c.s[i] / BASE;
            c.s[i] %= BASE;
        }
        while(c.s.back() == 0 && c.s.size()>1)
        c.s.pop_back();
        return c;
    }
    BigInteger operator += (const BigInteger& b){
        *this = *this + b;return *this;
    }
    bool operator < (const BigInteger& b)const {
         if(s.size() != b.s.size()) return s.size() < b.s.size();
         for(int i = s.size()-1;i >= 0;i--){
             if(s[i] != b.s[i]) return s[i] < b.s[i];
         }
         return false;
    }
    bool operator > (const BigInteger& b)const {
         return b < *this;
    }
    bool operator <= (const BigInteger& b)const {
         return !(b < *this);
    }
    bool operator >= (const BigInteger& b)const {
         return !(*this < b);
    }
    bool operator != (const BigInteger& b)const {
         return b < *this || *this < b;
    }
    bool operator == (const BigInteger& b)const {
         return !(b < *this) && !(*this < b);
    }
    friend ostream& operator << (ostream &out,const BigInteger& x){
         out << x.s.back();
         for(int i = x.s.size() - 2; i >= 0;i--){
             char buf[20];
             sprintf(buf,"%08d",x.s[i]);
             for(int j = 0;j < strlen(buf);j++) out << buf[j];
         }
         return out;
     }
     friend istream& operator >> (istream &in,BigInteger& x){
         string s;
         if(!(in >> s)) return in;
         x = s;
         return in;
     }    
};

BigInteger dp[maxn][maxn],ans;

inline BigInteger BigInt_max (BigInteger a, BigInteger b)
{
    return a > b ? a : b;
}

int main(){
    scanf("%d%d",&n,&m);
    for(int i = 1;i <= n;i++){
        memset(dp,0,sizeof(dp));
        for(int i = 1;i <= m;i++){
            scanf("%d",&mapp[i]);
            dp[i][i] = mapp[i] << 1;
        }
        for(int len = 1;len < m;len++){
            for(int l = 1;l <= m;l++){
                int r = l + len;
                dp[l][r] = BigInt_max(dp[l+1][r] + mapp[l],dp[l][r-1] + mapp[r]) * 2;
            }
        }
        ans += dp[1][m];
    }
    cout << ans;
    return 0;
}