动态规划法
经常会遇到复杂问题不能简单地分解成几个子问题，而会分解出一系列的子问题。简单地采用把大问题分解成子问题，并综合子问题的解导出大问题的解的方法，问题求解耗时会按问题规模呈幂级数增加。
为了节约重复求相同子问题的时间，引入一个数组，不管它们是否对最终解有用，把所有子问题的解存于该数组中，这就是动态规划法所采用的基本方法。
【问题】 求两字符序列的最长公共字符子序列
问题描述：字符序列的子序列是指从给定字符序列中随意地（不一定连续）去掉若干个字符（可能一个也不去掉）后所形成的字符序列。令给定的字符序列X=“x0，x1，…，xm-1”，序列Y=“y0，y1，…，yk-1”是X的子序列，存在X的一个严格递增下标序列<i0，i1，…，ik-1>，使得对所有的j=0，1，…，k-1，有xij=yj。例如，X=“ABCBDAB”，Y=“BCDB”是X的一个子序列。
考虑最长公共子序列问题如何分解成子问题，设A=“a0，a1，…，am-1”，B=“b0，b1，…，bm-1”，并Z=“z0，z1，…，zk-1”为它们的最长公共子序列。不难证明有以下性质：
（1） 如果am-1=bn-1，则zk-1=am-1=bn-1，且“z0，z1，…，zk-2”是“a0，a1，…，am-2”和“b0，b1，…，bn-2”的一个最长公共子序列；
（2） 如果am-1!=bn-1，则若zk-1!=am-1，蕴涵“z0，z1，…，zk-1”是“a0，a1，…，am-2”和“b0，b1，…，bn-1”的一个最长公共子序列；
（3） 如果am-1!=bn-1，则若zk-1!=bn-1，蕴涵“z0，z1，…，zk-1”是“a0，a1，…，am-1”和“b0，b1，…，bn-2”的一个最长公共子序列。
这样，在找A和B的公共子序列时，如有am-1=bn-1，则进一步解决一个子问题，找“a0，a1，…，am-2”和“b0，b1，…，bm-2”的一个最长公共子序列；如果am-1!=bn-1，则要解决两个子问题，找出“a0，a1，…，am-2”和“b0，b1，…，bn-1”的一个最长公共子序列和找出“a0，a1，…，am-1”和“b0，b1，…，bn-2”的一个最长公共子序列，再取两者中较长者作为A和B的最长公共子序列。
求解：
引进一个二维数组c[][]，用c[i][j]记录X[i]与Y[j] 的LCS 的长度，b[i][j]记录c[i][j]是通过哪一个子问题的值求得的，以决定搜索的方向。
我们是自底向上进行递推计算，那么在计算c[i,j]之前，c[i-1][j-1]，c[i-1][j]与c[i][j-1]均已计算出来。此时我们根据X[i] = Y[j]还是X[i] != Y[j]，就可以计算出c[i][j]。
问题的递归式写成：
回溯输出最长公共子序列过程：
算法分析：
由于每次调用至少向上或向左（或向上向左同时）移动一步，故最多调用(m + n)次就会遇到i = 0或j = 0的情况，此时开始返回。返回时与递归调用时方向相反，步数相同，故算法时间复杂度为Θ(m + n)。
代码：
#include <stdio.h> #include <string.h> #define MAXLEN 100 //x 字符串a //y 字符串b //m 字符串a的长度 //n 字符串b的长度 //c x[i]、y[i]对应的lcs的长度 //b 确定打印时的搜寻方向。是向上走还是向左走 void LCSLength(char *x, char *y, int m, int n, int c[][MAXLEN], int b[][MAXLEN]) { int i, j; for(i = 0; i <= m; i++) c[i][0] = 0; for(j = 1; j <= n; j++) c[0][j] = 0; for(i = 1; i<= m; i++) { for(j = 1; j <= n; j++) { if(x[i-1] == y[j-1]) { c[i][j] = c[i-1][j-1] + 1; b[i][j] = 0; } else if(c[i-1][j] >= c[i][j-1]) { c[i][j] = c[i-1][j]; b[i][j] = 1; } else { c[i][j] = c[i][j-1]; b[i][j] = -1; } } } } void PrintLCS(int b[][MAXLEN], char *x, int i, int j) { if(i == 0 || j == 0) return; if(b[i][j] == 0) { PrintLCS(b, x, i-1, j-1); printf("%c ", x[i-1]); } else if(b[i][j] == 1) PrintLCS(b, x, i-1, j); else PrintLCS(b, x, i, j-1); } int main(int argc, char **argv) { char x[MAXLEN] = {"ABCBDAB"};//字符串a char y[MAXLEN] = {"BDCABA"};//字符串b int b[MAXLEN][MAXLEN];// int c[MAXLEN][MAXLEN];//a[i]、b[j]对应的lcs长度 int m, n; m = strlen(x);//字符串a的长度 n = strlen(y);//字符串b的长度 LCSLength(x, y, m, n, c, b); PrintLCS(b, x, m, n); return 0; }