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  • codeforces 1194F (组合数学)

    Codeforces 11194F (组合数学)

    传送门:https://codeforces.com/contest/1194/problem/F

    题意:

    你有n个事件,你需要按照1~n的顺序完成这些事件,每个事件需要(t_i)的时间完成,你现在一共有T的时间去做这些事情,每做一件事情的时候,你有0.5的概率花费(t_i)的时间完成他,也有0.5的概率花费(t_i+1)的时间去完成他,如果在做这个事件的时候时间花完了,你就相当于没有做成这个事件,现在问你在T的时间内完成的事件的个数的期望是多少

    题解:

    读完题后想到的应该是一个概率dp,但是T有(2e14)的大小,我们现在着手于如何优化他

    首先,我的每一个事件都只有两种情况,如果是情况1 ,就按照原本的时间去完成他,如果是情况2,我就要在原本的时间的基础上加上一个1,那么我完成k个事件时,我始终是要花费sum[k]的时间去做这些事件的,这里的sum是t的前缀和

    所以我们其实不用管时间这个限制条件了,我们只需要得到,前i个事件中我有多少个事件需要花费+1的这个时间去完成他的事件的个数,那么这样我们就变成了一个组合数的问题了

    我们可以得到在我们完成k个事件时,有i个事件出现了+1的情况

    那么这个概率就是((frac{1}{2})^k*C_k^{i})这个就很容易理解,如果求期望那么乘上一个k就可以了

    那么我总的期望就是(sum_{i=1}^{posmax}(frac{1}{2})^(posmax)*C_k^{i}*posmax)

    posmax表示,我当前最多可以完成的事件

    我们用一个副本posmaxtmp来表示posmax完成这些事件的时间

    那么在循环中posmaxtmp每次+1时就可以使得完成一个事件的时间+1

    如果posmaxtmp大于T了,我们后面的事件就完不成,posmax就得往前走,这里需要处理一下下

    并且,当posmaxtmp大于T时,我也需要算出这一部分的期望即完成posmax-1个事件时对答案的贡献

    代码:

    #include <set>
    #include <map>
    #include <cmath>
    #include <cstdio>
    #include <string>
    #include <vector>
    #include <cstring>
    #include <iostream>
    #include <algorithm>
    using namespace std;
    typedef long long LL;
    typedef pair<int, int> pii;
    typedef unsigned long long uLL;
    #define ls rt<<1
    #define rs rt<<1|1
    #define lson l,mid,rt<<1
    #define rson mid+1,r,rt<<1|1
    #define bug printf("*********
    ")
    #define FIN freopen("input.txt","r",stdin);
    #define FON freopen("output.txt","w+",stdout);
    #define IO ios::sync_with_stdio(false),cin.tie(0)
    #define debug1(x) cout<<"["<<#x<<" "<<(x)<<"]
    "
    #define debug2(x,y) cout<<"["<<#x<<" "<<(x)<<" "<<#y<<" "<<(y)<<"]
    "
    #define debug3(x,y,z) cout<<"["<<#x<<" "<<(x)<<" "<<#y<<" "<<(y)<<" "<<#z<<" "<<z<<"]
    "
    const int maxn = 3e5 + 5;
    const int mod = 1e9 + 7;
    const int INF = 0x3f3f3f3f;
    typedef long long ll;
    
    ll F[maxn], invF[maxn];
    ll power(ll a, ll b) {
        ll ret = 1;
        while(b) {
            if(b & 1) ret = (ret * a) % mod;
            a = (a * a) % mod;
            b >>= 1;
        }
        return ret;
    }
    void init() {
        F[0] = 1;
        for(int i = 1; i < maxn; i++) {
            F[i] = (F[i - 1] * i) % mod;
        }
        invF[maxn - 1] = power(F[maxn - 1], mod - 2);
        for(int i = maxn - 2; i >= 0; i--) {
            invF[i] = invF[i + 1] * (i + 1) % mod;
        }
    }
    
    ll C(int n, int m) {
        if(n < 0 || m < 0 || m > n) return 0;
        if(m == 0 || m == n)    return 1;
        return F[n] * invF[n - m] % mod * invF[m] % mod;
    }
    LL t[maxn];
    LL sum[maxn];
    
    int main() {
    #ifndef ONLINE_JUDGE
        FIN
    #endif
        IO;
        init();
        int n;
        LL T;
        cin >> n >> T;
        for(int i = 1; i <= n; i++) {
            cin >> t[i];
            sum[i] = sum[i - 1] + t[i];
        }
        // debug1(T);
        int posmax = n;
    
        for(int i = 1; i <= n; i++) {
            // debug1(sum[i]);
            if(sum[i] > T) {
                posmax = i - 1;
                break;
            }
        }
    
        // debug1(posmax);
        int num;
        int inv2 = invF[2];
        LL res = 0;
        LL posmaxtmp = sum[posmax] - 1;
        // debug1(inv2);
        for(int i = 0; i <= posmax; i++) {
            ++posmaxtmp;
            // debug3(i, posmaxtmp, C(posmax, i));
            // debug1(posmax);
            while(posmaxtmp > T) {
                res += power(inv2, posmax) * C(posmax - 1, i - 1) % mod * (posmax - 1) % mod;
                res %= mod;
                posmaxtmp -= t[posmax];
                --posmax;
            }
            if(i > posmax) break;
            res += power(inv2, posmax) % mod * C(posmax, i) % mod * posmax % mod;
            res %= mod;
        }
        cout << res << endl;
    
        return 0;
    }
    
    每一个不曾刷题的日子 都是对生命的辜负 从弱小到强大,需要一段时间的沉淀,就是现在了 ~buerdepepeqi
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  • 原文地址:https://www.cnblogs.com/buerdepepeqi/p/11188016.html
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