BZOJ1040 骑士基环外向树

1040: [ZJOI2008]骑士

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Description

　　Z国的骑士团是一个很有势力的组织，帮会中汇聚了来自各地的精英。他们劫富济贫，惩恶扬善，受到社会各
界的赞扬。最近发生了一件可怕的事情，邪恶的Y国发动了一场针对Z国的侵略战争。战火绵延五百里，在和平环境
中安逸了数百年的Z国又怎能抵挡的住Y国的军队。于是人们把所有的希望都寄托在了骑士团的身上，就像期待有一
个真龙天子的降生，带领正义打败邪恶。骑士团是肯定具有打败邪恶势力的能力的，但是骑士们互相之间往往有一
些矛盾。每个骑士都有且仅有一个自己最厌恶的骑士（当然不是他自己），他是绝对不会与自己最厌恶的人一同出
征的。战火绵延，人民生灵涂炭，组织起一个骑士军团加入战斗刻不容缓！国王交给了你一个艰巨的任务，从所有
的骑士中选出一个骑士军团，使得军团内没有矛盾的两人（不存在一个骑士与他最痛恨的人一同被选入骑士军团的
情况），并且，使得这支骑士军团最具有战斗力。为了描述战斗力，我们将骑士按照1至N编号，给每名骑士一个战
斗力的估计，一个军团的战斗力为所有骑士的战斗力总和。

Input

　　第一行包含一个正整数N，描述骑士团的人数。接下来N行，每行两个正整数，按顺序描述每一名骑士的战斗力
和他最痛恨的骑士。

Output

　　应包含一行，包含一个整数，表示你所选出的骑士军团的战斗力。

Sample Input

3
10 2
20 3
30 1

Sample Output

HINT

N ≤ 1 000 000，每名骑士的战斗力都是不大于 1 000 000的正整数。

基环外向树定义：n个点、n条边，已知树的定义为n个点n-1条边，那么多的一条边连上去后就形成了一个环

这个题求的是树上的最大权值

每一个当一每一个节点为根节点跑一遍后保存的最大值就是最大权值

设f[i][0],f[i][1]分别表示以i为根，不选/选i时的最大权值。则有转移式：

f[i][0]=leijia{ max(f[son(i)][0],f[son(i)][1]) }

f[i][1]=leijia{ f[son(i)][0] }

对于一个环，我们任选一条边拆开，然后以边的两点U，V为根做树形DP，再考虑边UV存在，有两种情况：

　　1）强制不选U，V任意，环的贡献为以U做DP的f[U][0]

　　2）强制不选V，U任意，环的贡献为以V做DP的f[V][0]

代码如下：

#include <cstdio>
#include <iostream>
#include <cstring>
#include <algorithm>
using namespace std;
/*
注意题目中的有向边其实就是无向边。然后有多个联通块，每个联通块中有且仅有一个环。

  如果没有环的话可以用树形DP，解决这个问题。

  设f[i][0],f[i][1]分别表示以i为根，不选/选i时的最大权值。则有转移式：

      f[i][0]=leijia{ max(f[son(i)][0],f[son(i)][1]) }

      f[i][1]=leijia{ f[son(i)][0] }

  对于一个环，我们任选一条边拆开，然后以边的两点U，V为根做树形DP，再考虑边UV存在，有两种情况：

　　1） 强制不选U，V任意，环的贡献为以U做DP的f[U][0]

　　2） 强制不选V，U任意，环的贡献为以V做DP的f[V][0]*/

typedef long long ll;
const int maxn = 1e6+5;
struct edge{
  int v,nxt;
}e[maxn<<1];
int en=1;
int front[maxn];
int n,w[maxn],vis[maxn];
ll f[maxn][2];
//前向星建图
void add(int u,int v){
  en++;     //边++
  e[en].v=v;   //第en个节点指向v
  e[en].nxt=front[u];   //nxt指向上一条以a为起点的边
  front[u]=en;   //表示以u为起点的最后输入的边的编号
}
int U,V,E;
void dfs(int u,int fa){
  vis[u]=1; //标记防止重复访问
  //以该节点为根节点，开始遍历
  //从该节点的编号开始，一路遍历
  for(int i=front[u];i;i=e[i].nxt){
    if((i^1)==fa) {
      continue;
    }
    int v=e[i].v;
    if(vis[v]){
      U=u;
      V=v;
      E=i;
      continue;
    }
    dfs(v,i);
  }
}
//树形DP
void treedp(int u,int fa,int ban){
  f[u][1]=w[u],f[u][0]=0;
  for(int i=front[u];i;i=e[i].nxt){
    if((i^1)==fa) continue;
    if(i==ban||(i^1)==ban) continue;
    int v=e[i].v;
    treedp(v,i,ban);
    f[u][0]+=max(f[v][1],f[v][0]);
    f[u][1]+=f[v][0];
  }
}
int main(){
    cin>>n;
    int v;
    for(int i=1;i<=n;i++){
      cin>>w[i];  //点权
      cin>>v;  // 连边
      //建立无向图
      add(i,v);
      add(v,i);
    }
    ll ans=0;
    for(int i=1;i<=n;i++){
      if(!vis[i]){
         dfs(i,-1);
         treedp(U,-1,E); //强制不选U，V任意，环的贡献为以U做DP的f[U][0]
         ll tmp=f[U][0];
         treedp(V,-1,E); // 强制不选V，U任意，环的贡献为以V做DP的f[V][0]
         tmp=max(tmp,f[V][0]);
         ans+=tmp;   //得出最大贡献
      }
    }
    cout<<ans<<endl;
    return 0;
}

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