AcWing：149. 荷马史诗（哈夫曼编码 + k叉哈夫曼树）

追逐影子的人，自己就是影子。 ——荷马

达达最近迷上了文学。

她喜欢在一个慵懒的午后，细细地品上一杯卡布奇诺，静静地阅读她爱不释手的《荷马史诗》。

但是由《奥德赛》和《伊利亚特》组成的鸿篇巨制《荷马史诗》实在是太长了，达达想通过一种编码方式使得它变得短一些。

一部《荷马史诗》中有 n 种不同的单词，从 1 到 n 进行编号。其中第 i 种单词出现的总次数为 wiwi。

达达想要用 k 进制串 sisi 来替换第 i 种单词，使得其满足如下要求:

对于任意的 1≤i,j≤n，i≠j，都有：sisi 不是 sjsj 的前缀。

现在达达想要知道，如何选择 sisi，才能使替换以后得到的新的《荷马史诗》长度最小。

在确保总长度最小的情况下，达达还想知道最长的 sisi 的最短长度是多少？

一个字符串被称为 k 进制字符串，当且仅当它的每个字符是 0 到 k−1 之间（包括 0 和 k−1）的整数。

字符串 Str1 被称为字符串 Str2 的前缀，当且仅当：存在 1≤t≤m，使得 Str1=Str2[1..t]。

其中，m 是字符串 Str2 的长度，Str2[1..t] 表示 Str2 的前 t 个字符组成的字符串。

输入格式

输入文件的第 1 行包含 2 个正整数 n,k，中间用单个空格隔开，表示共有 n 种单词，需要使用 k 进制字符串进行替换。

第2~n+1 行：第 i+1 行包含 1 个非负整数 wiwi，表示第 i 种单词的出现次数。

输出格式

输出文件包括 2 行。

第 1 行输出 1 个整数，为《荷马史诗》经过重新编码以后的最短长度。

第 2 行输出 1 个整数，为保证最短总长度的情况下，最长字符串 sisi 的最短长度。

数据范围

2≤n≤1000002≤n≤100000,
2≤k≤92≤k≤9

输入样例：

4 2
1
1
2
2

输出样例：

12
2

算法：哈夫曼编码 + k叉哈夫曼树

#include <iostream>
#include <cstdio>
#include <queue>

using namespace std;

typedef long long ll;

struct node {
    ll val, deep;
    friend bool operator < (node a, node b) {   //优先队列重载时当满足下列写的条件时，队列就会按 < 排序
        if(a.val == b.val) {
            return a.deep > b.deep;     
        }
        return a.val > b.val;
    };
};

priority_queue<node> q;

int main() {
    int n, k;
    scanf("%d %d", &n, &k);
    for(int i = 1; i <= n; i++) {
        ll x;
        scanf("%lld", &x);
        q.push((node){x, 0});
    }
    while((q.size() - 1) % (k - 1) != 0) {      //假设k叉哈夫曼树每层都有k-1个数（不包括那个合成的点）
                                                //那么，现在我们要构建一个满k叉哈夫曼树
                                                //因为最后一层必定有k个数，所以就把总量减去1即可
                                                //所以可以等到 (n - 1) % (k - 1) == 0 的性质
        q.push((node){0, 0});
    }
    ll ans = 0;
    while(q.size() > 1) {
        ll sum = 0;
        ll ma = 0;
        for(int i = 0; i < k; i++) {
            node t = q.top();
            q.pop();
            sum += t.val;
            ma = max(ma, t.deep);
        }
        ans += sum;
        q.push((node){sum, ma + 1});
    }
    printf("%lld
%lld
", ans, q.top().deep);
    return 0;
}