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最短路树+树上操作

最短路树是什么？如果1号点到任意节点的最短路唯一，那么边集组成的图就是一棵树。节点的深度就是到根节点（1号点）的最短路。这道题为什么要用到最短路树？因为我们不能经过最短路上的最后一条边，所以我们应该至少走一条非树边。什么样的非树边是合法的？假设我们要走到 i ，那么合法的边为：两个端点一个在子树中，一个不再子树中。也就是说对于一条非树边的两个端点a，b，她们能产生的贡献就是a - > lca , lca - >b (不包括lca，画画图就知道了)。那么我们就可以跑一遍dij，记录每个点在最短路上的前驱，之后建树。至于树上操作只需要区间修改，单点查询最大值，保证1操作在2操作后。那么这就可以用并查集实现了。（但是我写了树链剖分，惨遭卡常）

code

#include<iostream>
#include<cstdio>
#include<queue>
#include<algorithm>
#include<cmath>
#include<vector>
#include<cstring> 
#define half (l+r)>>1;
#include<ctime>
using namespace std;
const int maxn=100006;
int head[maxn*4],d[maxn],bhead[maxn],cur,son[maxn],id[maxn],top[maxn],fa[maxn],dis[maxn],size[maxn];
int n,m,cur2;
struct hzw
{
    int to,next,v;
}tu[maxn*4],e[maxn*4];
struct zmd
{
    int mx,lc,rc,tag;
}t[400006];
inline void add1(int a,int b,int c)
{
	tu[cur].to=b;
	tu[cur].next=bhead[a];
	tu[cur].v=c;
	bhead[a]=cur++;
}
inline void add2(int a,int b,int c)
{
	e[cur2].to=b;
	e[cur2].next=head[a];
	e[cur2].v=c;
	head[a]=cur2++;
}
inline int read(){
    int x = 0;
    char c = ' ';
    while(c > '9' || c < '0') c = getchar();
    while(c >= '0' && c <= '9'){
        x = x * 10 + c - '0';
        c = getchar();
    }
    return x;
}
typedef pair<int ,int>p;
int last[maxn],vlast[maxn];
inline void dij()
{
    priority_queue<p,vector<p>,greater<p> >q;
    memset(dis,0x3f,sizeof(dis));
    q.push(p(0,1));
    dis[1]=0;
    while (!q.empty())
    {
        p shit=q.top();
        q.pop();
        int s=shit.second;
        if (shit.first>dis[s]) continue;
        for (int i=bhead[s];i!=-1;i=tu[i].next)
        {
            int vv=tu[i].to;
            if (dis[vv]>dis[s]+tu[i].v)
            {
                dis[vv]=dis[s]+tu[i].v;
                last[vv]=s;
                vlast[vv]=tu[i].v;
                q.push(p(dis[vv],vv));
            }
        }
    }
}
int cnt;
inline void build(int s,int l,int r)
{
    t[s].tag=0x3f3f3f3f;
    if (l==r)
    {
        t[s].mx=0x3f3f3f3f;
        return;
    }
    int mid=half;
    t[s].lc=++cnt;
    build(cnt,l,mid);
    t[s].rc=++cnt;
    build(cnt,mid+1,r);
}
inline void pushdown(int s)
{
    int ll=t[s].lc,rr=t[s].rc,zz=t[s].tag;
    t[ll].mx=min(t[ll].mx,zz),t[rr].mx=min(t[rr].mx,zz);
    t[ll].tag=min(t[ll].tag,zz),t[rr].tag=min(t[rr].tag,zz);
    t[s].tag=0x3f3f3f3f;
}
inline void update(int s,int l,int r,int cl,int cr,int x)
{
    if (cr<cl) return;
    if (l==cl&&r==cr)
    {
        t[s].mx=min(t[s].mx,x);
        t[s].tag=min(t[s].tag,x);
        return;
    }
    if (t[s].tag<0x3f3f3f3f) pushdown(s); 
    int mid=half;
    if (cr<=mid) update(t[s].lc,l,mid,cl,cr,x);
    else if (cl>mid) update(t[s].rc,mid+1,r,cl,cr,x);
    else 
    {
        update(t[s].lc,l,mid,cl,mid,x);
        update(t[s].rc,mid+1,r,mid+1,cr,x);
    }
    t[s].mx=min(t[t[s].lc].mx,t[t[s].rc].mx);
}
inline int query(int s,int l,int r,int p)
{
    if(l==p&&r==p)
    {
        return t[s].mx;
    }
    if (t[s].tag<0x3f3f3f3f) pushdown(s);
    int mid=half;
    if (p<=mid) return query(t[s].lc,l,mid,p);
    else return query(t[s].rc,mid+1,r,p);
}
bool vis[maxn];
inline int dfs1(int s,int f)
{
    int maxson=0;
    fa[s]=f;
    size[s]=1;
    for (int i=head[s];i!=-1;i=e[i].next)
    {
		if (e[i].to==f) continue;
        d[e[i].to]=d[s]+e[i].v;
        size[s]+=dfs1(e[i].to,s);
        if (size[e[i].to]>maxson) 
        {
            maxson=size[s];
            son[s]=e[i].to;
        }
    }
    return size[s];
}
int tot;
inline void dfs2(int s,int firs)
{
    top[s]=firs;
    id[s]=++tot;
    if (!son[s]) return;
    dfs2(son[s],firs);
    for (int i=head[s];i!=-1;i=e[i].next)
    {
        if (id[e[i].to]) continue;
        dfs2(e[i].to,e[i].to);
    }
}
inline int lca(int x,int y)
{
    if (x==y) return x;
    while (top[x]!=top[y])
    {
        if (d[top[x]]<d[top[y]]) swap(x,y);
        x=fa[top[x]];
    }
    if (d[x]>d[y]) swap(x,y);
    return x;
}
inline void solve(int x,int y,int k,int num)
{
    while (top[x]!=top[y])
    {
        if (d[top[x]]<d[top[y]]) swap(x,y);
        int tmp=top[x]==k?id[top[x]]+1:id[top[x]];
        update(1,1,n,tmp,id[x],num);
        x=fa[x];
    }
    if (d[x]>d[y]) swap(x,y);
    int tmp=x==k?id[x]+1:id[x];
    update(1,1,n,tmp,id[y],num);
}
int main()
{
	memset(bhead,-1,sizeof(bhead));
    memset(head,-1,sizeof(head));
    cnt=1;
    n=read(),m=read();
    for (int i=1,a,b,c;i<=m;++i)
    {
        a=read(),b=read(),c=read();
        add1(a,b,c);
        add1(b,a,c);
    }
    dij();	
    for (int i=2;i<=n;++i)
    {
    	if (last[i]) add2(last[i],i,vlast[i]),add2(i,last[i],vlast[i]);
	}
    dfs1(1,1);
    dfs2(1,1);
    build(1,1,n);
    for (int i=1;i<=n;++i)
    {
    	if (dis[i]>0x3f3f3f3f-1) continue;
        for (int j=bhead[i];j!=-1;j=tu[j].next)
        {
            int  vv=tu[j].to,val=tu[j].v;
            if (vv==fa[i]||i==fa[vv]) continue;
            solve(i,vv,lca(i,vv),d[i]+d[vv]+val);
        }
    }
    for (int i=2;i<=n;++i)
    {
    	if (!id[i]) printf("-1
");
        else 
        {
        	int tmp=query(1,1,n,id[i]);
        	if (tmp==0x3f3f3f3f) printf("-1
");
        	else printf("%d
",tmp-d[i]);
		}
    }
    return 0;
}

收获：

1、关于最短路唯一的条件要想到最短路树
2、注意dij跑完建树的实现形式