这几天一直再看博弈的东西，现在按照自己的理解总结一下：
首先需要明白的是必胜态和必败态的理论：1所有的末状态为必败态；2从P状态只能转移到必胜态N；3从N从能找到一个转移使其到P状态。下面将的所有的定理结论都是基于这三条的，所以应该好好理解。
一、博弈论基础知识
1巴什博弈(bash game)
一堆含有n个石子游戏，每次只能去1..m个，问先手是必胜还是必败，这个很简单，只需要判断n%(1+m)就行了。
2威佐夫博弈
有两堆石子，每次要么从一堆中取出任意一个，要么从两堆中取走相同数量的石子，先取光着为胜，为先手是否必胜，这个用到了一个结论，就是奇异和非奇异局势。
一个奇异局势不管怎么转移都转换为非奇异的，任何一个非奇异局势总能找到一个方法转移到奇异的，这样就对于了我们上面的规则了，我们求出任何一个奇异局势的公式为ak=[k*(1+sqrt(5))/2],bk=ak+k,k=0,1,...,这样任意给出一个局势(a,b)，我们先求出k=b-a,判断a是否为ak(=[k*(1+sqrt(5))/2]),因为每个奇异局势都是固定的，且差满足增1，前几个奇异局势为(0,0),(1,2),(3,5),(4,7),....
3尼姆博弈(Nim game)
说给出n堆石子，每次从任意一堆中取走任意多个，问先手是否必胜，这个用到异或操作了，假设初始状态为a1,a2,a3,...,an,我们求出sg=a1XORa2...XORan,如果sg为0，则必败，如果不是0，必胜，其实这个规律就可以推出上面三条PN规则。
它的一种变形是先取光着必败，其实方法不变，只是稍微加一条特殊情况，如果全为1，我们只需要判断n的奇偶性就可以得出结果，如果不全为1，我们按照上面的方法，求出它们的奇异，若为0则必败否则必胜（抓住那三条理论，不管先取光的为胜或为负，我们要做的总是让对手满足奇异局势，由于非奇异局势总可以转化为奇异局势，所以满足了PN规则，只是我们的走法不同，策略不同而且）。
还有复杂点的是SG函数：其实上面所有的情况都可以使用SG值来抽象，它的功能非常强大，常常用于多个游戏的并，有一个公式为SG=SG1xorSG2...及总的游戏和的sg值为每个游戏sg值的异或，我们可以根据这个来求出总的游戏的PN状态。
对于一个博弈树，给出一个状态，我们常规方法是从这个状态出发找到所有的子局面，根据子局面判断此状态的PN值，但是有个题目子状态非常多，造成复杂度过高，我们选择从底往上扩展，详见上一篇博客。