分治算法主定理的计算和推倒笔记

分治算法主定理的计算和推倒笔记

在学习分治的时候，通常都会遇到通用分治算法递推式：

其中 T(n)代表了分治算法的时间复杂度，n代表了问题的输入规模，a和b分别代表n个输入实例划分为b个子问题，其中a个需要被处理；最后f(n)代表最后合并处理后的结果所需要的时间复杂度。显而易见，T(n)的增长次数取决于a,b已经f(n)。通常会直接给出如下的主定理来描述T(n):

其实对于这个公式所表示的意思，我不是很明白。比如我当时就有几个问题：

1. f(n) 为什么是属于n的d次方的复杂度？
2. 三个等式是怎么算出来的，成立条件表示的是什么意思？

为了解决我的疑惑，查阅了不少的资料，也想明白了问题。因此特此在本文中记录下。

第一个问题 - f(n) 为什么是属于n的d次方的复杂度？

对于这个问题我的理解是，对于划分的b个子问题，不管是否需要处理最后都需要合并。那么合并这些子问题的结构，至少是O(n)的复杂度。如果复杂一点还有可能是O(n ^ 2)这样子(比如2个结果集，还要在排序下，然后又使用了O(n ^ 2)的算法)

第二个问题 - 主定理如何计算出来的？

主定理的计算有着两种方法：递推求解法和递归树求解法。对于递归求解法，要求较高的数学方法而且比较抽象（简单的来说就是我不懂哈哈哈），所以不打算记录下。这里主要谈谈我对递归树求解法的理解。通过递归树可以把T(n)的各个递归的部分画出来。

递归的最后规模是1，因此可以得出如下的几个结论：

1. 递归树的高度

2. 叶子节点的个数是：

3. 成本和（表示了合并所有结果的成本）:

   

这里解释下a/b^d 这个部分是怎么来的。如下的推倒，当把T(n/b)替换之后，则可得到a/b^d 这个部分。(原本b^d是在O()中，因为算是常数项，所以可以提出来)

来看下两个比较重要的部分：

a.第一层的成本是：

b. 最后一层的成本是：

根据上面的递归树图，我们可以知道时间复杂度 = 成本和，所以会出现以下这三种情况：

1. 如果a/b^d < 1 既每一层的成本和都是递减的，则时间复杂度可以按第一层计算，既T(n) = O(n^d)
2. 如果a/b^d = 1 既每一层的成本和是一样的，那么总成本就是把第一层的成本乘以树高，既：

3. 如果a/b^d > 1 既每一层的成本和都是递增的，则只计算最后一层的成本和即可：

所以可以通过a/b^d 和1的关系，可以得出不同的时间复杂度度。也就最后得到了这个公式：

参考文献

1.分治法（一). https://www.cnblogs.com/jmzz/archive/2011/06/10/2077923.html.

2.分治法时间复杂度求解秘籍. https://www.cnblogs.com/jmzz/archive/2011/06/10/2077923.html.