Dirichlet 卷积学习笔记

Dirichlet 卷积学习笔记

数论函数：数论函数亦称算术函数，一类重要的函数，指定义在正整数集上的实值或复值函数，更一般地，也可把数论函数看做是某一整数集上定义的函数。

然而百科在说什么鬼知道呢，感性理解一下，数论函数的定义域是正整数，值域也是正整数。

数论函数的相关运算与性质

• 设有数论函数(f{h,f,g})。

1. 加法运算

   ((mathbf {f}+mathbf {g})(n)=mathbf {f}(n)+mathbf {g}(n))

   即每项相加

2. 数乘运算

   ((xmathbf f )(n)=xmathbf f(n))

   即每项相乘

3. 卷积乘(*)

   若(mathbf h=mathbf f*mathbf g)

   那么(mathbf h(n)=sumlimits_{i|n}mathbf f(i)mathbf g(frac{n}{i}))

4. 交换律

   (f f*g=g*f)

   显然

5. 结合律

   ((mathbf f*mathbf g)*mathbf h=mathbf f*(mathbf g*mathbf h))

   意会

6. 分配律

   ((mathbf f+ mathbf g)*mathbf h=mathbf f*mathbf h+mathbf g*mathbf h)

   意会

7. 单位元

   定义数论函数(epsilon(n)=[n=1])

   对任意(mathbf f)，有(mathbf f=mathbf f*epsilon)

   显然

8. 逆元

   对于任意的(mathbf f(1) ot=0)的数论函数，存在一个(mathbf g)使得(mathbf g*mathbf f=epsilon)

   对于(mathbf g)有构造

   [mathbf g(n)=frac{1}{mathbf f(1)}([n=1]-sum_{i|n,i ot=1}mathbf f(i)mathbf g({frac{n}{i}})) ]

   证明代入卷积计算就可以了。

9. 积性函数

   满足若(a ot b)，那么(mathbf f(ab)=mathbf f(a)mathbf f(b))的数论函数被成为积性函数。

10. 两个积性函数的卷积是积性函数

    证明重要吗

11. 一个积性函数的逆也是积性函数

    证明重要吗

12. 任何一个积性函数都可以线性筛出来

常见积性函数及其性质

令(n=prodlimits_{i=1}^k p_i^{c_i})

• (mathbf 1(n)=1)，常函数
• (mathbf {Id}(n)=n)，常函数
• (mathbf {Id}^k(n)=n^k)，常函数的一般形式
• (epsilon(n)=[n=1])，单位元
• (mu(n) = [max(c_1,c_2,dots,c_k) le 1](-1)^k) ，莫比乌斯函数
• (varphi(n)=nprodlimits_{i=1}^k(1-frac{1}{p_i}))，欧拉函数
• (mathbf d(n)=sumlimits_{d|n}1)，约数个数
• (sigma(n)=sumlimits_{d|n}d)，约数和
• (lambda(n)=(-1)^k)

1. 莫比乌斯函数

   我们尝试把(mu)给定义出来，定义(mu)为(mathbf 1)的逆。

   则有(mu * mathbf 1=epsilon)

   换成我们熟悉的形式就是(sum_{d|n}mu(d)=[n=1])

   尝试构造(mu),显然(mu(1)=1)。

   然后发现对于质数(p),满足(sum_{d|p^k}mu=0),即(1+mu(p)+mu(p^1)+dots+mu_(p^k)=0)。

   通过一些简单的反证可以得到(mu(p^k)=-[kle 1],k ot=0)

   因为(mathbf1)是积性函数，所以( t{Ta})的逆(mu)也是积性函数。

   然后我们就可以得到(Ta)的函数式，即

   (mu(n) = [max(c_1,c_2,dots,c_k) le 1](-1)^k)

   或者说是

   [mu(n)=left{egin{aligned}(-1)^k if squarefree \0 ohterwise\end{aligned} ight. ]

   特殊的，(mu(1)=1).

   (squarefree) 表示对(n)，(forall c_i=1).

   之类的一些定义。

   • 莫比乌斯反演

     若(mathbf g=mathbf f *mathbf 1),那么(mu*mathbf g=mathbf f*mu*mathbf 1)，即(mathbf f=mu*mathbf g)

     换成熟悉的形式，若(mathbf g(n)=sumlimits_{d|n}mathbf f(d))，那么$mathbf f(n)=sumlimits_{d|n} mu(d) imes mathbf g(frac{n}{d}) $，于是我们较为简单的证明了反演。

     对于实际中更加常用的第二类反演，我们可以定义一种类似与卷积的新运算进行证明。

   筛法：

   for(int i=2;i<=N;i++)
       {
           if(!ispri[i])
           {
               mu[i]=-1;
               pri[++cnt]=i;
           }
           for(int j=1;j<=cnt&&pri[j]*i<=N;j++)
           {
               ispri[i*pri[j]]=1;
               if(i%pri[j]==0) break;
               else mu[i*pri[j]]=-mu[i];
           }
       }
   

2. 欧拉函数

   其实这个也可以定义出来的，不过从意义的角度说明( t{Ta})会更加的自然。

   (varphi(n))代表(1 sim n-1)中与(n)互质的数的个数，考虑证明( t{Ta})的计算式。

   可以用容斥说明一波，不过这个用用和积性函数有关的东西叭。

   (varphi(p^k)=p^k-p^{k-1}=p^k(1-frac{1}{p}))

   唯一分解(n=prodlimits_{i=1}^k p_i^{c_i})

   那么(varphi(n)=prodlimits_{i=1}^kp_i^{c_i}(1-frac{1}{p_i})=nprodlimits_{i=1}^k(1-frac{1}{p_i}))

   然后我们考虑证明(Ta)的一个性质，(varphi *mathbf 1=mathbf {Id})，也就是我们熟悉的(sum_{d|n}varphi(d)=n)。

   证明起来很简单，设(mathbf t=varphi *mathbf 1)，那么(mathbf t)为积性函数，我们先搞出( t{Ta})的素数幂的式子，然后乘起来就行了。

   筛法

   for(int i=2;i<=N;i++)
       {
           if(!ispri[i])
           {
               pri[++cnt]=i;
               phi[i]=i-1;
           }
           for(int j=1;j<=cnt&&i*pri[j]<=N;j++)
           {
               ispri[i*pri[j]]=1;
               if(i%pri[j]==0)
               {
                   phi[i*pri[j]]=phi[i]*pri[j];
                   break;
               }
               else
                   fphi[i*pri[j]]=phi[i]*(pri[j]-1);
           }
       }
   

3. 其他相关性质

   • (varphi *mathbf 1=mathbf {Id}Rightarrow varphi=mu *mathbf {Id})

   • (mathbf d=mathbf1 *mathbf1 Rightarrow mu*mathbf d=mathbf1)

   • (sigma=mathbf {Id}*mathbf 1 Rightarrow mathbf {Id}=sigma*mu)或(sigma=mathbf {Id}*mathbf 1 Rightarrow sigma=varphi*mathbf d)