杜教筛学习笔记
设有四个数论函数(f h,f,g,s)满足(mathbf h=mathbf f*mathbf g)，(mathbf s(n)=sumlimits_{i=1}^n mathbf f(i))
[sumlimits_{i=1}^n mathbf h(i)=sumlimits_{i=1}^nsumlimits_{d|i}mathbf g(d)mathbf f (frac{i}{d})
]
[=sum_{i=1}^nmathbf g(i)sum_{j=1}^{lfloor frac{n}{i}
floor }mathbf f(i)
]
[=sum_{i=1}^nmathbf g(i)mathbf s(lfloorfrac{n}{i}
floor)
]
[=mathbf g(1)mathbf s(n)+sum_{i=2}^n mathbf g(i) mathbf s(lfloorfrac{n}{i}
floor)
]
于是有
[mathbf g(1)mathbf s(n)=sum_{i=1}^n mathbf h(i) -sum_{i=2}^n mathbf g(i) mathbf s(lfloorfrac{n}{i}
floor )
]
我们就利用这个式子进行求和，构造一个好求的(mathbf h)和(mathbf g)
比如(epsilon=mu*mathbf1)，则(mathbf s(n)=1-sumlimits_{i=2}^nmathbf s(lfloorfrac{n}{i} floor ))
这里的复杂度我没仔细研究，放结论了。
直接进去递归进行求解的复杂度是(O(n^{frac{3}{4}}))的，预处理筛出的前(O(n^{frac{2}{3}}))的所求函数的前缀和可以达到平衡，复杂度(O(n^{frac{2}{3}}))
事实上预处理稍微大于(n^{frac{2}{3}})的话效率会更快。
存东西最好手写( t{Hash})或者用( t{unordered\_map})，别用( t{map})
Code:
#include <cstdio>
#include <unordered_map>
#define ll long long
std::unordered_map <int,ll> phi,mu;
const int N=3e6;
int pri[N+10],ispri[N+10],cnt;
ll fphi[N+10],fmu[N+10];
void init()
{
fphi[1]=fmu[1]=1;
for(int i=2;i<=N;i++)
{
if(!ispri[i])
{
pri[++cnt]=i;
fphi[i]=i-1;
fmu[i]=-1;
}
for(int j=1;j<=cnt&&i*pri[j]<=N;j++)
{
ispri[i*pri[j]]=1;
if(i%pri[j]==0)
{
fphi[i*pri[j]]=fphi[i]*pri[j];
break;
}
else
{
fphi[i*pri[j]]=fphi[i]*(pri[j]-1);
fmu[i*pri[j]]=-fmu[i];
}
}
}
for(int i=2;i<=N;i++)
fmu[i]+=fmu[i-1],fphi[i]+=fphi[i-1];
}
ll calphi(int n)
{
if(n<=N) return fphi[n];
if(phi.find(n)!=phi.end()) return phi[n];
ll ret=1ll*n*(n+1)/2;
for(int l=2,r;l<=n;l=r+1)
{
r=n/(n/l);
ret-=1ll*(r+1-l)*calphi(n/l);
}
return phi[n]=ret;
}
ll calmu(int n)
{
if(n<=N) return fmu[n];
if(mu.find(n)!=mu.end()) return mu[n];
ll ret=1;
for(int l=2,r;l<=n;l=r+1)
{
r=n/(n/l);
ret-=1ll*(r+1-l)*calmu(n/l);
}
return mu[n]=ret;
}
int main()
{
init();
int T,n;
scanf("%d",&T);
while(T--)
{
scanf("%d",&n);
printf("%lld %lld
",calphi(n),calmu(n));
}
return 0;
}