斯特林数学习笔记

斯特林数学习笔记

第二类斯特林数

• 定义：将(n)个物品分成(k)个非空集合的方案数，记作(left{egin{matrix}n\kend{matrix} ight})，称为斯特林子集数.

• 递推：

  [left{egin{matrix}n\kend{matrix} ight}=kleft{egin{matrix}n-1\kend{matrix} ight}+left{egin{matrix}n-1\k-1end{matrix} ight} ]

  意义：放入最后一个物品时，若新成立一个集合，方案数为(left{egin{matrix}n-1\k-1end{matrix} ight})，若加入原来的集合，方案数为(kleft{egin{matrix}n-1\kend{matrix} ight}).

第一类斯特林数

• 定义：将(n)个物品分成(k)个非空轮换的方案数，记作(left[egin{matrix}n\kend{matrix} ight])，称为斯特林轮换数.

• 轮换？

  轮换即为环形排列，如([A,B,C,D]=[B,C,D,A]=[C,D,A,B]=[D,A,B,C])

  (n)元素的轮换的方案数为((n-1)!)

• 递推

  [left[egin{matrix}n\kend{matrix} ight]=(n-1)left[egin{matrix}n-1\kend{matrix} ight]+left[egin{matrix}n-1\k-1end{matrix} ight] ]

  意义：放入最后一个物品，新成立方案数为(left[egin{matrix}n-1\k-1end{matrix} ight])，放在前面的集合，每个元素可以产生一个方案，为((n-1)left[egin{matrix}n-1\kend{matrix} ight])，可以从一个大小为(n)的轮换放进去一个元素，方案数是(n)来说明，其实就是一个求和。

• (n)元素的轮换与(n)元素的排列构成双射，有

  [sumlimits_{k=0}^nleft[egin{matrix}n\kend{matrix} ight]=n! ]

  举个例子感性说明一下，比如(123456)与(361254)，将它们如下排列

  [egin{matrix}1 2 3 4 5 6\3 6 1 2 5 4end{matrix} ]

  然后你发现(1->3,3->1;2->6,6->4,4->2;5->5)，那么(361254)可以映射到轮换([1,3][2,6,4][5])上了。

  证明就是一般化的说明这个过程。

斯特林数与幂

• 上升幂与下降幂

  下降幂：(x^{underline n}=x(x-1)dots(x-n+1))

  上升幂：(x^{overline n}=x(x+1)dots(x+n-1))

• 斯特林子集数是产生通常幂的下降幂的系数。

  [x^n=sumlimits_{k=0}^nleft{egin{matrix}n\kend{matrix} ight}x^{underline k} ]

• 斯特林轮换数是产生上升幂的通常幂的系数。

  [x^{overline n}=sumlimits_{k=0}^nleft[egin{matrix}n\kend{matrix} ight]x^k ]

  以上两者均可用数学归纳法证明。

斯特林反演

• 证明没怎么看懂，也没意会到，先放着，以后做题了慢慢想

  [x^{underline n}=sumlimits_{k=0}^nleft[egin{matrix}n\kend{matrix} ight](-1)^{n-k}x^k ]
  [x^n=sumlimits_{k=0}^nleft{egin{matrix}n\kend{matrix} ight}(-1)^{n-k}x^{overline k} ]

  据说使用了这个式子

  [x^{underline n}=(-1)^n(-x)^{overline n} ]

参考资料

具体数学第二版