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  • 多项式Ⅰ

    多项式Ⅰ

    update20181229

    这篇屑文章咕咕了,我更改了一些代码写法(非递归->递归),从牛顿迭代的思想理解了一下,这里的一些思想可能比较繁琐,可以看看多项式Ⅱ

    前言:本人只会瞎背板子,根本没怎么理解,而且只学了一两个最简单的(学一点更新一点

    前置定义:多项式的度表示多项式的最高次数。

    多项式求逆

    • 定义

      [A(x)A^{-1}(x)equiv 1pmod {x^n} ]

      (n)(A(x))的度,这里是两个多项式进行卷积之后对一个多项式((x^n))取模

      • 为什么要取模?

        如果不取模,除了只有常数项的多项式以外,其他多项式的逆元都是无穷级数。

      • 一个取模的感性理解

        (x^n)取模相当于把次数大于(n)的项都扔掉

    • 倍增

      若求出了(A(x)A'(x)equiv 1pmod {x^{lceilfrac{n}{2} ceil}})(A'(x))

      [A(x)A^{-1}(x)equiv 1pmod {x^n} ]

      [A(x)A^{-1}(x)equiv 1 pmod {x^{lceilfrac{n}{2} ceil}} ]

      [A(x)(A^{-1}(x)-A'(x))equiv 0 pmod {x^{lceilfrac{n}{2} ceil}} ]

      [A^{-1}(x)-A'(x)equiv 0 pmod {x^{lceilfrac{n}{2} ceil}} ]

      [(A^{-1}(x)-A'(x))^2equiv 0 pmod {x^n} ]

      [(A^{-1}(x))^2-2A^{-1}(x)A'(x)+A'^2(x)equiv 0 pmod {x^n} ]

      [A^{-1}(x)-2A'(x)+A(x)A'^2(x)equiv 0 pmod {x^n} ]

      [A^{-1}(x)equiv 2A'(x)-A(x)A'^2(x)pmod {x^n} ]

      上面过程以已意会为主,谢谢。正经的觉得疑惑还是从定义去理解+讨论。

    • 细节

      注意每次乘法时取长度取多不取少,比如那个三个多项式乘开开四倍长度。

    • Code:

      #include <cstdio>
      #include <algorithm>
      #define ll long long
      const int N=(1<<18)+10;
      const int mod=998244353,G=3,Gi=332748118;
      #define add(x,y) ((x+y)%mod)
      #define Mul(x,y) (1ll*(x)*(y)%mod)
      int qp(int d,int k){int f=1;while(k){if(k&1)f=Mul(f,d);d=Mul(d,d);k>>=1;}return f;}
      int A[N],B[N],f[N],b[2][N],turn[N];
      void NTT(int *a,int len,int typ)
      {
          for(int i=0;i<len;i++)
              if(i<turn[i])
                  std::swap(a[i],a[turn[i]]);
          for(int le=1;le<len;le<<=1)
          {
              int wn=qp(typ?G:Gi,(mod-1)/(le<<1));
              for(int p=0;p<len;p+=le<<1)
              {
                  int w=1;
                  for(int i=p;i<p+le;i++,w=Mul(w,wn))
                  {
                      int tx=a[i],ty=Mul(w,a[i+le]);
                      a[i]=add(tx,ty);
                      a[i+le]=add(tx,mod-ty);
                  }
              }
          }
          if(!typ)
          {
              int inv=qp(len,mod-2);
              for(int i=0;i<len;i++)
                  a[i]=Mul(a[i],inv);
          }
      }
      void mul(int *a,int *b,int len)
      {
          int L=-1;for(int i=1;i<len;i<<=1,++L);
          for(int i=0;i<len;i++) turn[i]=turn[i>>1]>>1|(i&1)<<L,A[i]=B[i]=0;
          for(int i=0;i<len>>1;i++) A[i]=a[i],B[i]=b[i];
          NTT(A,len,1),NTT(B,len,1);
          for(int i=0;i<len;i++) A[i]=Mul(A[i],B[i]);
          NTT(A,len,0);
          for(int i=0;i<len;i++) a[i]=A[i];
      }
      void inv(int *a,int n)
      {
          int cur=0,len=2;
          b[cur][0]=qp(f[0],mod-2);
          while(len<=(n<<2))
          {
              cur^=1;
              for(int i=0;i<len>>1;i++) b[cur][i]=add(b[cur^1][i],b[cur^1][i]);
              mul(b[cur^1],b[cur^1],len);
              mul(b[cur^1],f,len);
              for(int i=0;i<len;i++) b[cur][i]=add(b[cur][i],mod-b[cur^1][i]);
              len<<=1;
          }
          for(int i=0;i<n;i++)
              a[i]=b[cur][i];
      }
      int main()
      {
          int n;scanf("%d",&n);
          for(int i=0;i<n;i++) scanf("%d",f+i);
          inv(f,n);
          for(int i=0;i<n;i++) printf("%d ",f[i]);
          return 0;
      }
      

    多项式除法

    [A(x)=B(x)D(x)+R(x) ]

    注:(A(x))被除多项式,度为(n)(B(x))除他的多项式,度为(m)(D(x))商,度为(n-m),余数为(R(x)),度不大于(m-1)

    • 一种转换

      (A^r(x)=x^nA(frac{1}{x}))

      感性理解:把它的系数颠倒了,可以(O(n))处理

      • 有什么用?

        通过取模把余数扔掉。

    • [A(x)=B(x)D(x)+R(x) ]

      [x^nA(x)=x^nB(x)D(x)+x^nR(x) ]

      [A^r(x)=B^r(x)D^r(x)+x^{n-m+1}R^r(x) ]

      [A^r(x)equiv B^r(x)D^r(x) pmod {x^{n-m+1}} ]

      然后求个逆把(D^r(x))弄出来,带回去就行了

    • Code:

      #include <cstdio>
      #include <algorithm>
      const int N=(1<<20)+10;
      const int mod=998244353,Ge=3,Gi=332748118;
      #define add(x,y) ((x+y)%mod)
      #define Mul(x,y) (1ll*(x)*(y)%mod)
      int qp(int d,int k){int f=1;while(k){if(k&1)f=Mul(f,d);d=Mul(d,d);k>>=1;}return f;}
      int F[N],G[N],b[2][N],X[N],Y[N],A[N],B[N],turn[N];
      void NTT(int *a,int len,int typ)
      {
          for(int i=0;i<len;i++)
              if(i<turn[i])
                  std::swap(a[i],a[turn[i]]);
          for(int le=1;le<len;le<<=1)
          {
              int wn=qp(typ?Ge:Gi,(mod-1)/(le<<1));
              for(int p=0;p<len;p+=le<<1)
              {
                  int w=1;
                  for(int i=p;i<p+le;i++,w=Mul(w,wn))
                  {
                      int tx=a[i],ty=Mul(w,a[i+le]);
                      a[i]=add(tx,ty);
                      a[i+le]=add(tx,mod-ty);
                  }
              }
          }
          if(!typ)
          {
              int inv=qp(len,mod-2);
              for(int i=0;i<len;i++)
                  a[i]=Mul(a[i],inv);
          }
      }
      void polymul(int *a,int *b,int len)
      {
          int L=-1;for(int i=1;i<len;i<<=1,++L);
          for(int i=0;i<len;i++) turn[i]=turn[i>>1]>>1|(i&1)<<L,A[i]=B[i]=0;
          for(int i=0;i<len>>1;i++) A[i]=a[i],B[i]=b[i];
          NTT(A,len,1),NTT(B,len,1);
          for(int i=0;i<len;i++) A[i]=Mul(A[i],B[i]);
          NTT(A,len,0);
          for(int i=0;i<len;i++) a[i]=A[i];
      }
      void polyinv(int *a,int n)
      {
          int cur=0,len=2;
          b[cur][0]=qp(a[0],mod-2);
          while(len<=(n<<2))
          {
              cur^=1;
              for(int i=0;i<len>>1;i++) b[cur][i]=add(b[cur^1][i],b[cur^1][i]);
              polymul(b[cur^1],b[cur^1],len);
              polymul(b[cur^1],a,len);
              for(int i=0;i<len;i++) b[cur][i]=add(b[cur][i],mod-b[cur^1][i]);
              len<<=1;
          }
          for(int i=0;i<n;i++)
              a[i]=b[cur][i];
      }
      void Reverse(int *a,int len)
      {
          for(int i=0;i<<1<len;i++) std::swap(a[i],a[len-i-1]);
      }
      void polydiv(int *a,int *b,int n,int m)
      {
          for(int i=0;i<n;i++) X[i]=a[i];
          for(int i=0;i<m;i++) Y[i]=b[i];
          Reverse(a,n),Reverse(b,m);
          polyinv(b,n-m+1);
          int len=1;while(len<=n<<2) len<<=1;
          polymul(a,b,len);
          Reverse(a,n-m+1);
          for(int i=n-m+1;i<len;i++) a[i]=0;
          polymul(Y,a,len);
          for(int i=0;i<m-1;i++) b[i]=add(X[i],mod-Y[i]);
      }
      int main()
      {
          int n,m;scanf("%d%d",&n,&m);++n,++m;
          for(int i=0;i<n;i++) scanf("%d",F+i);
          for(int i=0;i<m;i++) scanf("%d",G+i);
          polydiv(F,G,n,m);
          for(int i=0;i<n-m+1;i++) printf("%d ",F[i]);puts("");
          for(int i=0;i<m-1;i++) printf("%d ",G[i]);
          return 0;
      }
      

    多项式开根

    • 像求逆那样进行倍增

      [T^2equiv F pmod {2^n} ]

      [T'^2equiv Fpmod {2^{lceilfrac{n}{2} ceil}} ]

      [(T+T')(T-T')equiv 0 pmod {2^{lceilfrac{n}{2} ceil}} ]

      [(T-T')equiv 0pmod {2^{lceilfrac{n}{2} ceil}} ]

      [T^2-2TT'+T'^2equiv 0pmod {2^n} ]

      [F-2TT'+T'^2equiv 0pmod {2^n} ]

      [Tequiv frac{F+T'^2}{2T'}pmod {2^n} ]

      或者再化简一步

      [Tequiv frac{F}{2T'}+frac{T'}{2}pmod {2^n} ]

    • Code:

      void polysqrt(int *a,int n)
      {
          int len=2,cur=0;
          sq[cur][0]=1;
          while(len<=(n<<2))
          {
              cur^=1;
              for(int i=0;i<len>>1;i++) sq[cur][i]=mul(sq[cur^1][i],i2);
              for(int i=0;i<len>>1;i++) sq[cur^1][i]=add(sq[cur^1][i],sq[cur^1][i]);
              polyinv(sq[cur^1],len);
              polymul(sq[cur^1],a,len);
              for(int i=0;i<len;i++) sq[cur][i]=add(sq[cur][i],sq[cur^1][i]);
              len<<=1;
          }
          for(int i=0;i<n;i++) a[i]=sq[cur][i];
      }
      

    一定还会更新的...

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