【模板】exBSGS/Spoj3105 Mod
题目描述
已知数(a,p,b)，求满足(a^xequiv b pmod p)的最小自然数(x)。
输入输出格式
输入格式：
每个测试文件中最多包含(100)组测试数据。
每组数据中，每行包含(3)个正整数(a,p,b)。
当(a=p=b=0)时，表示测试数据读入完全。
输出格式：
对于每组数据，输出一行。
如果无解，输出No Solution（不含引号），否则输出最小自然数解。
BSGS
若(A perp p)，那么({A^x,xle varphi(p)})遍历的剩余系({A^{kx},xle varphi(p)})一定也遍历，于是考虑枚举答案
[A^xequiv B pmod p
]
采用分块的思想，设(t=sqrt p,x=kt-b)，式子就变成了
[A^{kt-b}equiv B pmod p
]
[A^{kt}equiv A^bBpmod p
]
我们枚举(x=0 sim t)，然后把得到的(A^xB)插到( t{Hash})表中去。
然后枚举((A^t)^k)的(k)，查询( t{Hash})表中有没有(A^{kt})
exBSGS
如果(p)不是质数，存在无解的判定((gcd(A,p) mid B))且(B ot=1)((B=1)特判(x=0))
然后考虑操作一波式子
[A^xequiv B pmod p,d=gcd(A,p)
]
把(d)除掉
[A^{x-1}frac{A}{d}equiv frac{B}{d}pmod {frac{p}{d}}
]
设(C=frac{A}{d},B'=frac{B}{d},p'=frac{p}{d})
原方程变为
[CAequiv B' pmod {p'}
]
然后重复是否无解的判断并向下递归，直到(Aperp p)或者无解
然后(BSGS)即可，而常数(C)并不影响我们进行(BSGS)
复杂度？显然递归的深度是(log)的，带上BSGS的就可以了。
Code:
#include <cstdio>
#include <cmath>
#include <unordered_map>
std::unordered_map <int,int> Hash;
int gcd(int a,int b){return b?gcd(b,a%b):a;}
#define mul(a,b,p) (1ll*(a)*(b)%p)
int exbsgs(int A,int B,int p)
{
if(B==1) return 0;
int ct=0,d,k=1;
while((d=gcd(A,p))^1)
{
if(B%d) return -1;
B/=d,p/=d,++ct;
k=mul(k,A/d,p);
if(k==B) return ct;
}
int t=sqrt(p)+1,kt=1;
Hash.clear();
for(int i=0;i<t;i++)
{
Hash[mul(kt,B,p)]=i;
kt=mul(kt,A,p);
}
k=mul(k,kt,p);
for(int i=1;i<=t;i++)
{
if(Hash.find(k)!=Hash.end()) return i*t-Hash[k]+ct;
k=mul(k,kt,p);
}
return -1;
}
int main()
{
int a,p,b;
scanf("%d%d%d",&a,&p,&b);
while(a&&p&&b)
{
int ans=exbsgs(a,b,p);
if(~ans) printf("%d
",ans);
else puts("No Solution");
scanf("%d%d%d",&a,&p,&b);
}
return 0;
}
2018.12.19