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  • 洛谷 P1446 [HNOI2008]Cards 解题报告

    P1446 [HNOI2008]Cards

    题目描述

    小春现在很清闲,面对书桌上的(N)张牌,他决定给每张染色,目前小春只有(3)种颜色:红色,蓝色,绿色.他询问Sun有多少种染色方案,Sun很快就给出了答案.

    进一步,小春要求染出(S_r)张红色,(S_b)张蓝色,(S_g)张绿色.他又询问有多少种方案,Sun想了一下,又给出了正确答案. 最后小春发明了(M)种不同的洗牌法,这里他又问Sun有多少种不同的染色方案.两种染色方法相同当且仅当其中一种可以通过任意的洗牌法(即可以使用多种洗牌法,而每种方法可以使用多次)洗成另一种.

    Sun发现这个问题有点难度,决定交给你,答案可能很大,只要求出答案除以(P)的余数((P)为质数).

    输入输出格式

    输入格式:

    第一行输入 (5) 个整数:(S_r,S_b,S_g,m,p(mle 60,m+1<p<100))(n=S_r+S_b+S_g)。接下来 (m) 行,每行描述一种洗牌法,每行有 (n) 个用空格隔开的整数 (X_1X_2dots X_n),恰为 (1)(n) 的一个排列,表示使用这种洗牌法,第 (i) 位变为原来的 (X_i) 位的牌。输入数据保证任意多次洗牌都可用这 (m) 种洗牌法中的一种代替,且对每种洗牌法,都存在一种洗牌法使得能回到原状态。

    (100\%)数据满足 (max{S_r,S_b,S_g}le 20)

    输出格式:

    不同染法除以(P)的余数


    其实这个题的(DP)做法应该就是官方正解了,思维难度并不高。

    很显然是变换构成了一个群

    考虑(polya)定理

    [frac{1}{|G|}sum_{pi in G}m^{w(pi)} ]

    然后因为每个循环节同色,我们可以直接求循环节然后(dp)

    注意单位元不给,要自己加上

    还有一种比较神奇的做法,发现这个题还给了除群外的一个性质,然后可以得到一个结论,仅单位元有不动点,然后(Burnside)直接组合算就可以了,答案就是

    [frac{(a+b+c)!}{a!b!c!(m+1)} ]

    然后我并不会证,比较严谨的描述如下,如果谁可以给出证明,烦请私信我一下啦

    (G={pi_1,pi_2,dots,pi_p})是目标集([1,n])上的置换群,且(forall t=sum pi_k,pi_k in G),定义(sum)为置换的连接操作,且(k)可重,(exists t in G),求证仅(G)的单位元存在不动点。


    Code:

    #include <cstdio>
    const int N=201;
    #define mul(a,b) (1ll*(a)*(b)%mod)
    int a,b,c,m,mod,fac[N];
    int qp(int d,int k){int f=1;while(k){if(k&1)f=mul(f,d);d=mul(d,d);k>>=1;}return f;}
    int main()
    {
        scanf("%d%d%d%d%d",&a,&b,&c,&m,&mod);
        for(int x,i=1;i<=m;i++)
            for(int j=1;j<=a+b+c;j++)
                scanf("%d",&x);
        fac[0]=1;
        for(int i=1;i<=N;i++) fac[i]=mul(fac[i-1],i);
        int ans=mul(fac[a+b+c],mul(qp(fac[a],mod-2),mul(qp(fac[b],mod-2),mul(qp(fac[c],mod-2),qp(m+1,mod-2)))));
        printf("%d
    ",ans);
        return 0;
    }
    

    2018.12.21

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