【ZOJ3899】State Reversing
Description
有(N)个不同的怪兽，编号从(1) 到(N)。Yukari有(M)个相同的房间，编号为(1)到(M)。每个房间是无限大的，每个房间有两种状态：可以住或者不可以住（一开始所有的房间都可以住）。Yukari每天都会选定一个区间 ([l,r])，把编号在这个区间的房间状态反转（可以住改成不可以住，不可以住改成可以住）。怪兽只能住在“可以住”的房间。每间“可以住”的房间至少有一个怪兽。
Yukari想知道，每次反转后，有多少种方法为这些怪兽分配房间。两种方法（方法(A)和方法(B)）认为是同种方法当且仅当对于方案(A)中任意一个房间(x)，在方案(B)中存在一个房间(y)使得房间(x)和房间(y)住的怪兽的编号集合是一样的。换句话说，房间是相同的。
Input
第一行一个整数 (T(T≤5)) ，表示数据组数。
接下来三个整数 (N,M,Q(1≤M≤N≤10^5,Q≤10^5)) ，分别表示怪兽数、房间数、操作次数。
接下来(Q)行，每行两个整数 (l,r(1≤l≤r≤M)) ，表示Yukari会反转区间 ([l,r]) 的状态。
方案数对(880803841)取模
Output
对于每次操作，输出进行反转操作后为怪兽分配房间的方案数。
把(n)个有标号的球求放到(m)个无标号的非空盒子里，发现就是第二类斯特林数，因为(m)会变，所以等价于求斯特林行。
先考虑求出(n)个有标号的球出放到(m)个有标号的非空盒子里，即为({n race m}m!)
设
[f_i={n race i}i!
]
考虑进行容斥，设(g_i)代表(n)个有标号的球放到(i)个有标号的盒子里的方案数，则有
[g_i=i^n
]
显然有
[g_k=sum_{i=0}^kinom{k}{i}f_i
]
二项式反演
[egin{aligned}
f_k&=sum_{i=0}^k(-1)^iinom{k}{i}g_{k-i}\
&=sum_{i=0}^k(-1)^ifrac{k!}{(k-i)!i!}(k-i)^n\
&=k!sum_{i=0}^kfrac{(-1)^i}{i!}frac{(k-i)^n}{(k-i)!}
end{aligned}
]
所以
[{nrace k}=sum_{i=0}^kfrac{(-1)^i}{i!}frac{(k-i)^n}{(k-i)!}
]
然后卷一下子就行了，维护用个线段树就好
Code:
#include <cstdio>
#include <algorithm>
const int mod=880803841,G=26,Gi=711418487;
const int N=1e5+10;
#define add(a,b) ((a+b)%mod)
#define mul(a,b) (1ll*(a)*(b)%mod)
int qp(int d,int k){int f=1;while(k){if(k&1)f=mul(f,d);d=mul(d,d),k>>=1;}return f;}
int n,m,q,a[N<<3],b[N<<3],turn[N<<3],fac[N<<3],len,L;
void NTT(int *a,int typ)
{
for(int i=1;i<len;i++) if(i<turn[i]) std::swap(a[i],a[turn[i]]);
for(int le=1;le<len;le<<=1)
{
int wn=qp(typ?G:Gi,(mod-1)/(le<<1));
for(int p=0;p<len;p+=le<<1)
{
int w=1;
for(int i=p;i<p+le;i++,w=mul(w,wn))
{
int tx=a[i],ty=mul(w,a[i+le]);
a[i]=add(tx,ty);
a[i+le]=add(tx,mod-ty);
}
}
}
if(!typ)
{
int inv=qp(len,mod-2);
for(int i=0;i<len;i++) a[i]=mul(a[i],inv);
}
}
int sum[N<<2],tag[N<<2];
#define ls id<<1
#define rs id<<1|1
void build(int id,int l,int r)
{
tag[id]=0,sum[id]=r+1-l;
if(l==r) return;
int mid=l+r>>1;
build(ls,l,mid),build(rs,mid+1,r);
}
void pushdown(int id,int l,int r)
{
if(tag[id])
{
int mid=l+r>>1;
sum[ls]=mid+1-l-sum[ls];
sum[rs]=r-mid-sum[rs];
tag[ls]^=1,tag[rs]^=1,tag[id]^=1;
}
}
void change(int id,int L,int R,int l,int r)
{
if(L==l&&R==r)
{
sum[id]=R+1-L-sum[id];
tag[id]^=1;
return;
}
pushdown(id,L,R);
int Mid=L+R>>1;
if(r<=Mid) change(ls,L,Mid,l,r);
else if(l>Mid) change(rs,Mid+1,R,l,r);
else change(ls,L,Mid,l,Mid),change(rs,Mid+1,R,Mid+1,r);
sum[id]=sum[ls]+sum[rs];
}
int main()
{
int T;scanf("%d",&T);
while(T--)
{
scanf("%d%d%d",&m,&n,&q);
len=1,L=-1;
while(len<=m<<1) len<<=1,++L;
for(int i=0;i<len;i++) a[i]=b[i]=0,turn[i]=turn[i>>1]>>1|(i&1)<<L;
fac[0]=1;for(int i=1;i<=m;i++) fac[i]=mul(fac[i-1],i);
a[m]=b[m]=qp(fac[m],mod-2);
for(int i=m-1;~i;i--) b[i]=a[i]=mul(a[i+1],i+1);
for(int i=1;i<=m;i+=2) a[i]=mod-a[i];
for(int i=0;i<=m;i++) b[i]=mul(b[i],qp(i,m));
NTT(a,1),NTT(b,1);
for(int i=0;i<len;i++) a[i]=mul(a[i],b[i]);
NTT(a,0);
build(1,1,n);
for(int l,r,i=1;i<=q;i++)
{
scanf("%d%d",&l,&r);
change(1,1,n,l,r);
printf("%d
",a[sum[1]]);
}
}
return 0;
}
2018.12.22