Problem A: 青春野狼不做理性小魔女的梦
题意
给一个长为(k)的序列(A)和一个数(n)，给出一部分(A_i)的值，另一部分为(-1)，代表不知道这个(A_i)是多少，求满足(sumlimits_{i=1}^kA_ix_iequiv 1pmod m)有整数解条件下的方案数，数是这么填的(1le mle n,1 le A_ile m)，填(m)和不知道的(A_i)
说明
对(10^9+7)取模
对所有数据(1le kle 50,1le nle 10^9,-1le A_ile 10^9)
当时就想到了[HAOI2018]奇怪的背包
然后就知道需要(gcd(A_1,A_2,dots,m)=1)，注意要把(A_i=0)的先扔出去。
但是那个题是(dp)，把约数丢进去当状态就可以了，受到思维的影响，我就没从(dp)的坑里出去...成功的忽略了这个题推式子的本质。
设(g_i)代表模数为(i)时的答案
需要分情况讨论，如果所有的(A_i=-1)
[egin{aligned}
g_n&=sum_{i_1=1}^nsum_{i_2=1}^ncdotssum_{i_k=1}^n[gcd(i_1,i_2,dots,i_n,n)=1]\
&=sum_{d=1}^nmu(d)sum_{i_1=1}^nsum_{i_2=1}^ncdotssum_{i_k=1}^n[d|gcd(i_1,i_2,dots,i_n,n)]\
&=sum_{d|n}mu(d)(frac{n}{d})^k
end{aligned}
]
设
[F(n)=sum_{i=1}^n i^k
]
那么答案为
[egin{aligned}
ans&=sum_{i=1}^nsum_{d|i}mu(d)(frac{i}{d})^k\
&=sum_{d=1}^nmu(d)sum_{d|i}(frac{i}{d})^k\
&=sum_{d=1}^nmu(d)F(lfloorfrac{n}{d}
floor)
end{aligned}
]
前面的(mu)杜教筛搞一下，后面的(F)拉格朗日插值搞一下，复杂度并不会算..
如果不是所有的(A_i=-1),设所有非(-1)的(A_i)的(gcd)是(s)，那么式子可以推出来是
[sum_{d|s}mu(d)F(lfloorfrac{n}{d}
floor)
]
Code:
#include <cstdio>
#include <algorithm>
#include <unordered_map>
std::unordered_map <int,int> Mu;
const int N=2e6+1;
const int mod=1e9+7;
const int M=55;
int pri[N],ispri[N],mu[N],cnt;
int k,n,A[M],fl[M],fr[M],fac[M],inv[M],py[M],s=-1;
#define add(a,b) ((a+b)%mod)
#define mul(a,b) (1ll*(a)*(b)%mod)
int qp(int d,int k){int f=1;while(k){if(k&1)f=mul(f,d);d=mul(d,d),k>>=1;}return f;}
void init()
{
k+=2,fac[0]=1;
for(int i=1;i<=k;i++) py[i]=add(py[i-1],qp(i,k-2)),fac[i]=mul(fac[i-1],i);
inv[k]=qp(fac[k],mod-2);
for(int i=k-1;~i;i--) inv[i]=mul(inv[i+1],i+1);
mu[1]=1;
for(int i=2;i<N;i++)
{
if(!ispri[i])
{
pri[++cnt]=i;
mu[i]=-1;
}
for(int j=1;j<=cnt&&i*pri[j]<N;j++)
{
int x=i*pri[j];
ispri[x]=1;
if(i%pri[j])
mu[x]=-mu[i];
else
break;
}
}
for(int i=2;i<N;i++) mu[i]+=mu[i-1];
}
int Sum(int n)
{
if(n<N) return mu[n];
if(Mu.find(n)!=Mu.end()) return Mu[n];
int ret=1;
for(int r,l=2;l<=n;l=r+1)
{
r=n/(n/l);
ret-=(r+1-l)*Sum(n/l);
}
return Mu[n]=ret;
}
int getF(int n)//sum_{i=1}^n i^k
{
if(n<=k) return py[n];
fl[0]=fr[k+1]=1;
for(int i=1;i<=k;i++) fl[i]=mul(fl[i-1],n-i);
for(int i=k;i;i--) fr[i]=mul(fr[i+1],n-i);
int ret=0;
for(int i=1;i<=k;i++)
ret=add(ret,mul(k-i&1?-1:1,mul(py[i],mul(mul(fl[i-1],fr[i+1]),mul(inv[i-1],inv[k-i])))));
return ret;
}
int gcd(int a,int b){return b?gcd(b,a%b):a;}
void work1()
{
int ans=0;
for(int l=1,r;l<=n;l=r+1)
{
r=n/(n/l);
ans=add(ans,mul(add(Sum(r),mod-Sum(l-1)),getF(n/l)));
}
ans=add(ans,mod);
printf("%d
",ans);
}
int getmu(int n)
{
int ret=1;
for(int i=1;pri[i]*pri[i]<=n;i++)
if(n%pri[i]==0)
{
ret=-ret;
n/=pri[i];
while(n%pri[i]==0) n/=pri[i],ret=0;
}
if(n!=1) ret=-ret;
return ret;
}
void work2()
{
int ans=0,i=1;
for(i=1;i*i<s;i++)
{
if(s%i) continue;
int t=s/i;
ans=add(ans,mul(getmu(i),getF(n/i)));
ans=add(ans,mul(getmu(t),getF(n/t)));
}
if(i*i==s)
ans=add(ans,mul(getmu(i),getF(n/i)));
ans=add(ans,mod);
printf("%d
",ans);
}
int main()
{
int k_;scanf("%d%d",&k_,&n);
for(int a,i=1;i<=k_;i++)
{
scanf("%d",&a);
if(a) A[++k]=a;
}
std::sort(A+1,A+1+k);
if(!k||A[k]==-1) return init(),work1(),0;//全是-1
while(k&&~A[k]) if(~s) s=gcd(s,A[k]?A[k]:s),--k;else s=A[k--];
init();
work2();
return 0;
}
2018.12.26