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  • 洛谷 P1268 树的重量 解题报告

    P1268 树的重量

    题目描述

    树可以用来表示物种之间的进化关系。一棵“进化树”是一个带边权的树,其叶节点表示一个物种,两个叶节点之间的距离表示两个物种的差异。现在,一个重要的问题是,根据物种之间的距离,重构相应的“进化树”。

    令N={1..n},用一个N上的矩阵M来定义树T。其中,矩阵M满足:对于任意的i,j,k,有M[i,j] + M[j,k] >= M[i,k]。树T满足:

    1.叶节点属于集合N;

    2.边权均为非负整数;

    3.dT(i,j)=M[i,j],其中dT(i,j)表示树上i到j的最短路径长度。

    如下图,矩阵M描述了一棵树。

    树的重量是指树上所有边权之和。对于任意给出的合法矩阵M,它所能表示树的重量是惟一确定的,不可能找到两棵不同重量的树,它们都符合矩阵M。你的任务就是,根据给出的矩阵M,计算M所表示树的重量。下图是上面给出的矩阵M所能表示的一棵树,这棵树的总重量为15。

    输入输出格式

    输入格式:

    输入数据包含若干组数据。每组数据的第一行是一个整数n(2<n<30)。其后n-1行,给出的是矩阵M的一个上三角(不包含对角线),矩阵中所有元素是不超过100的非负整数。输入数据保证合法。

    输入数据以n=0结尾。

    输出格式:

    对于每组输入,输出一行,一个整数,表示树的重量。


    我已经蠢到看了题解还傻了无敌久才弄懂了。

    考虑2个点时,我们加入的一条边可以直接被统计上。

    第3个点时,我们并不关系它加在1,2点的边上的哪里,但我们只能加在这条边上并且唯一确定多出来的那条边的权值

    如下图,权值为

    ((dis_{1,3}+dis_{2,3}-dis_{1,2})/2)

    在加入第四个点时,我们就需要决策一下到底是加在链1,2上呢?还是链1,3上呢

    答案是加入新产生的权值最小的那条边

    为什么呢?

    因为如果不是最小的,那条红色的链就统计重复了。


    Code:

    #include <cstdio>
    const int N=32;
    int min(int x,int y){return x<y?x:y;}
    int dis[N][N],n;
    int main()
    {
        while(scanf("%d",&n)&&n)
        {
            for(int i=1;i<=n;i++)
                for(int j=i+1;j<=n;j++)
                {
                    scanf("%d",&dis[i][j]);
                    dis[j][i]=dis[i][j];
                }
            int ans=dis[1][2];
            for(int i=3;i<=n;i++)
            {
                int mi=0x7fffffff;
                for(int j=2;j<i;j++)
                    mi=min(mi,dis[1][i]+dis[j][i]-dis[1][j]);
                ans+=mi>>1;
            }
            printf("%d
    ",ans);
        }
        return 0;
    }
    
    
    

    2018.8.9

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