有关容斥原理的一些东西
容斥原理的形式化证明：
设有若干个物品以及(k)种属性，每个物品都有若干种属性。
设有函数(f(S))表示至少拥有属性集合(S)的物品个数
参考一个很简单的(k=3)的情况
每种颜色的圆的物品集合都拥有同一个属性，圆外面是没有属性的物品，设全集(U)为所有属性的集合。
一般来说，我们要求三个圆面积的交。
形式化的说，我们要求至少拥有一种属性的物品的集合大小，也就是有属性的物品有多少个。
公式说，这个集合大小为
说白了在(k=3)就是一个圆公共-两个圆公共+三个圆公共，大家都知道。
考虑一个正经的证明。
大体思路：证明每个有属性的物品的计算次数是(1)
设有一个(p)种属性的物品，考虑哪一些集合会出现(Ta)
每种大小不大于(p)的集合都可能对(Ta)有贡献，即为
通过组合数学 (inom{n}{m} = inom{n-1}{m} + inom{n-1}{m-1})的这个公式，我们化简一下上面的式子，就等于(1)啦。
多重集组合数
设有多重集({x_1cdot c_1,x_2cdot c_2,dots,x_kcdot c_k}),(x)是元素的值，而(c)是这个值的个数,设(C=sumlimits_{i=1}^k c_i)。
先考虑多重集的排列数，显然为
假设现在要取(n)个元素。
首先我们不考虑每种元素的上限时（也就是当每种元素都有无限个的时候）的方案数
从组合的意义出发，相当于把(n)个元素有序的划分成(k)组，每组可以为空的方案数。
等价于(n)个(0)，(k-1)个(1)的排列数，由多重集的排列数，为
然后我们考虑至少有一种元素取多了的方案数
考虑(x_i)取了至少(c_i+1)个的方案数，首先我们把这(c_i+1)个取出来，然后再随便取,为(inom{n+k-c_i-2}{k-1})
则至少某一种元素取多了的方案数为
类比可以得到至少两种元素取多了的方案数等等
如果把多取了某个元素当做一个属性，每一种取法当做物品，那么就可以套用上面的容斥原理了。
即为
上式代表的是至少某一种元素取多了的方案数，形象化的说，代表那三个圆的面积交。
则总方案为无限制的多重集的总排列数（全集）减去至少某一个元素多取了个数的方案数（面积并）
注意我们求解这个的复杂度是至少要枚举(2^k)种分配情况的，所以(k=20)左右时再想一想是不是这个做法。事实上还可以(f_{i,j})代表前(i)种集合选了(j)个元素进行(DP)做。
一个小问题
一个(a imes b)的矩形，每个位置的值在整数([0,s])中，要求每行每列的最大值均为(s)，计算有多少取值的方案。
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为什么要专门提出这个问题？
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从个人角度来看，先有了这个题（这其实是某个题的子问题）的我对容斥的思考，为了想明白容斥过程，才有了上面的东西。
Solution：
设(f_i)为至少有(i)行的限制不满足条件时的方案(需要保证每一列都满足条件)
(f_i=inom{a}{i} imes(s^i imes ((s+1)^{a-i}-s^{a-i}))^b)
方案数就是(sumlimits_{i=0}^a (-1)^i imes f_i)。
先解释(f_i)，如下图，蓝色的部分为满足的行，黄色的为不满足的行。
我们一列一列的填，把保证列满足的条件放在蓝色的地方。
于是蓝色的地方有总填法方案数((s+1)^{a-i})减去每一行都不填最大值的方案数(s^{a-i})得到至少有一个位置填了(s)的方案数。
然后黄色的地方每个位置只能填([0,s-1]),于是是(s^i)种填法了。
对每一列都这么填，于是是(b)次方，然后枚举哪(i)行不满足，就是(f_i)了。
然后是后面的容斥，不知道你有没有发现，上面两个地方出现了至少都是加黑的，还有一处是斜体，这是为了警示和区分，反正我想了好久才明白。
有没有觉得 ( ext{至少0个不满足的方案-至少1个不满足的方案=所有条件都满足的方案})
事实上这样说没问题，但是这个“至少”和(f_i)中的“至少”的意义并不一样。
可以像求多重集的组合数一样把意义套到容斥里面，然后结合上面的斜体和黑体的为什么不一样理解一下，就可以明白区别在哪里了。
长期更新...