最近公共祖先 解题报告

最近公共祖先

问题描述

给定一棵(n)个节点的有根树，节点编号为(1sim n)，其中根节点为(1)号节点。每个节点都对应着一种颜色（黑/白）和一个固定的权值，初始时所有节点的颜色都为白色。现在你需要实现以下两种操作：

• ( t{Modify v})：将节点(v)的颜色改成黑色；
• ( t{Query v})：找到一个黑色节点(u)，使得节点(u)和(v)的最近公共祖先(z)对应的权值尽可能大，输出节点(z)的权值。如果不存在黑色节点，输出(-1)

输入格式

第一行两个正整数(n,m)，表示节点数和操作数。

第二行(n)个正整数(w_1,w_2,dots,w_n(w_ile 10^9))，表示(n)个节点的权值。

接下来(n-1)行，每行两个正整数(a_i,b_i)，表示节点(a_i)与节点(b_i)之间有一条边相连。

接下来(m)行，每行由一个字符串(str)和一个正整数(v)组成，分别表示操作类型以及操作对应的节点编号。

输出格式

对于每个询问操作，输出一个整数作为这个询问的答案。

说明

对于(10\%)的数据：(nle 100,mle 200)

对于(20\%)的数据：(nle 3000,mle 3000)

对于另外(20\%)的数据：保证数据随机生成

对于另外(20\%)的数据：保证( t{Query})操作在所有( t{Modify})操作完成之后

对于(100\%)的数据：(nle 100000,mle 200000)

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sb题放(T3)了就没做出来（其实还是太菜，和放(T3)没得关系

最后一个另(20\%)的数据还星，要做个从上到下的树形( t{dp})，是一个不错的想法。

大概说一下，(dp_i)代表(i)节点通过(i)子树以外的黑点得到的最大(LCA)值。

转移
子树(i)-子树(v)有黑点，(dp_v=max(dp_i,w_i))；
否则，(dp_v=dp_i)
注意最后自己是黑点还要更新一下子树。

下面正解

题目有个重点，节点只会被染黑而不会被染回去。

如果一个节点黑了，它的每个祖先节点可以对 除了这个点所在儿子的子树外 的自己子树的所有点做出贡献，直接对一个子树-子树的点集算上( t{Ta})的贡献就可以了。

一个点被两个来自不同儿子的点算了以后，就没必要管( t{Ta})

因此每个点计算贡献的次数是(O(n))的

对子树跑一下(DFS)序，线段树维护一下区间修改和单点最大值就可以了。

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Code:

#include <cstdio>
#include <cstring>
const int N=1e5+10;
int head[N],to[N<<1],Next[N<<1],cnt;
void add(int u,int v)
{
    to[++cnt]=v,Next[cnt]=head[u],head[u]=cnt;
}
int f[N],dfn[N],low[N],poi[N],dfs_clock,m,n,is[N];
void dfs(int now)
{
    dfn[now]=++dfs_clock;
    for(int i=head[now];i;i=Next[i])
    {
        int v=to[i];
        if(v==f[now]) continue;
        f[v]=now;
        dfs(v);
    }
    low[now]=dfs_clock;
}
#define ls id<<1
#define rs id<<1|1
int max(int x,int y){return x>y?x:y;}
int tag[N<<2];
void change(int id,int L,int R,int l,int r,int d)
{
    if(r<l||!l) return;
    if(L==l&&R==r)
    {
        tag[id]=max(tag[id],d);
        return;
    }
    int Mid=L+R>>1;
    if(r<=Mid) change(ls,L,Mid,l,r,d);
    else if(l>Mid) change(rs,Mid+1,R,l,r,d);
    else change(ls,L,Mid,l,Mid,d),change(rs,Mid+1,R,Mid+1,r,d);
}
int query(int id,int l,int r,int p)
{
    if(l==r) return tag[id];
    int mid=l+r>>1;
    if(p<=mid) return max(tag[id],query(ls,l,mid,p));
    else return max(tag[id],query(rs,mid+1,r,p));
}
int main()
{
    memset(tag,-1,sizeof(tag));
    scanf("%d%d",&n,&m);
    for(int i=1;i<=n;i++) scanf("%d",poi+i);
    for(int u,v,i=1;i<n;i++) scanf("%d%d",&u,&v),add(u,v),add(v,u);
    dfs(1);
    char s[8];is[0]=1;
    for(int las,v,i=1;i<=m;i++)
    {
        scanf("%s%d",s,&v);
        if(s[0]=='Q')
            printf("%d
",query(1,1,n,dfn[v]));
        else
        {
            change(1,1,n,dfn[v],low[v],poi[v]);
            las=v,is[v]=1,v=f[v];
            do
            {
                change(1,1,n,dfn[v],dfn[las]-1,poi[v]);
                change(1,1,n,low[las]+1,low[v],poi[v]);
                las=v,is[v]=1,v=f[v];
            }while(!is[v]);
            change(1,1,n,dfn[v],dfn[las]-1,poi[v]);
            change(1,1,n,low[las]+1,low[v],poi[v]);
        }
    }
    return 0;
}

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2018.10.30