洛谷 P4495 [HAOI2018]奇怪的背包 解题报告

P4495 [HAOI2018]奇怪的背包

题目描述

小(C)非常擅长背包问题，他有一个奇怪的背包，这个背包有一个参数(P)，当他 向这个背包内放入若干个物品后，背包的重量是物品总体积对(P)取模后的结果． 现在小(C)有(n)种体积不同的物品，第(i)种占用体积为(V_i)，每种物品都有无限个． 他会进行(q)次询问，每次询问给出重量(w_i)，你需要回答有多少种放入物品的方案，能将一个初始为空的背包的重量变为(w_i)．注意，两种方案被认为是不同的， 当且仅当放入物品的种类不同，而与每种物品放入的个数无关．不难发现总的方案数为(2^n). 由于答案可能很大，你只需要输出答案对(1e9+7)取模的结果．

输入输出格式

输入格式

第一行三个整数(n,q,P)，含义见问题描述. 接下来一行(n)个整数表示(V_i). 接下来一行(q)个整数表示(w_i).

输出格式：

输出(q)行，每行一个整数表示答案．

说明

对于所有数据，有(1le n,qle 10^6,3 le P le 10^9,0 < V_i,w_i < P),保证(V_i)两两不同。

测试点标号	(n)	(q)	(p)
(1)	(=1)	(le 10^3)	(le 10^9)
(2)	(le 10)	(le 10^3)	(le 10)
(3)	(le 10)	(le 10^3)	(le 250)
(4)	(le 10)	(le 10^3)	(le 250)
(5)	(le 10^3)	(le 10^3)	(le 10^4)
(6)	(le 10^3)	(le 10^3)	(le 10^4)
(7)	(le 10^3)	(le 10^3)	(=998244353)
(8)	(le 10^3)	(le 10^3)	(le 10^9)
(9)	(le 10^6)	(le 10^6)	(le 10^9)
(10)	(le 10^6)	(le 10^6)	(le 10^9)

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是什么限制了我做题的想象力。。

我们要求

[sum x_ia_i equiv w_i pmod p ]

有多少个解，换成方程，即

[sum x_ia_i -py =w_i ]

有裴蜀定理可以猜到，有解的要求是(gcd(x_1,x_2,dots,x_n,p)|w_i)

于是我们可以做(DP)，令(dp_{i,j})表示前(i)个数选择的数的(gcd)和(p)做(gcd)后的结果为(j)

发现这样的状态是(O(nd(p)))的，(d(p))表示(p)的约数个数

我们可以把(V_i)与(p)的(gcd)相同的放在一起做，这样状态就优化到了(O(d^2(p)))了

转移的时候要求(gcd)，那么(dp)的总复杂度就是(O(d^2(p)log p))的

最后对每个(w_i)统计答案是(sum_{i|w_i}dp_{n,i})，不可以暴力统计，注意到是可以实现预处理的。

总复杂度(O(sqrt p+d^2(p)log p+nlog p+q))的

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Code:

#include <cstdio>
#include <algorithm>
#define ll long long
const int N=1e6+10;
const int M=2010;
const ll mod=1e9+7;
int n_,n,q,p,v[N],siz[N],cnt;
ll dp[M][M],f[M],d[M],po[N];
int gcd(int a,int b){return b?gcd(b,a%b):a;}
int Find(int x){return std::lower_bound(d+1,d+1+cnt,x)-d;}
int main()
{
    scanf("%d%d%d",&n_,&q,&p);
    po[0]=1;
    for(int i=1;i<=n_;i++)
    {
        scanf("%d",v+i);
        v[i]=gcd(v[i],p);
        po[i]=(po[i-1]<<1ll)%mod;
    }
    std::sort(v+1,v+1+n_);
    for(int i=1;i<=n_;i++)
    {
        if(v[i]==v[n])
            ++siz[n];
        else
            v[++n]=v[i],siz[n]=1;
    }
    for(int i=1;i*i<=p;i++)
        if(p%i==0)
            d[++cnt]=p/i,d[++cnt]=i;
    std::sort(d+1,d+1+cnt);
    cnt=std::unique(d+1,d+1+cnt)-d-1;
    for(int i=0;i<n;i++)
    {
        for(int j=1;j<=cnt;j++)
        {
            int pos=Find(gcd(v[i+1],d[j]));
            (dp[i+1][pos]+=dp[i][j]*(po[siz[i+1]]-1)%mod)%=mod;
            (dp[i+1][j]+=dp[i][j])%=mod;
        }
        (dp[i+1][Find(gcd(v[i+1],p))]+=po[siz[i+1]]-1)%=mod;
    }
    for(int i=1;i<=cnt;i++)
        for(int j=1;j<=i;j++)
            if(d[i]%d[j]==0)
                (f[i]+=dp[n][j])%=mod;
    for(int w,i=1;i<=q;i++)
    {
        scanf("%d",&w);
        printf("%lld
",f[Find(gcd(w,p))]);
    }
    return 0;
}

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2018.10.31