纠错编码-海明码

一.海明码

海明码只能发现双比特错误，纠正单比特错误

二.工作原理

“动一发而牵全身”，因为海明码是一个多重校验码，也就是码字中的信息码位同时被多个校验码进行校验

三.工作流程

1.确定校验码位数

海明不等式2^r>=k+r+1,r为冗余信息位，k为信息位
eg:要发送的数据为D=101101
则数据的位数k=6
满足的不等式最小r为4
也就是D=101101的海明码应该有6+4=10位，其中原始数据6位，校验码4位

2.确定校验码和数据的位置

还是上面的那个例子D=101101，假设这4位校验码分别为P1，P2,P3,P4,数据从左往右为D1,D2...D6
校验码必须是在2n次方位置，如第1、2、4、8、16、32,...位（对应2^0 2^1 2^2 2^3 2^4 2^5……，是从最左边的位数起的），这样一来就知道了信息码的分布位置，也就是非2n次方位置，如第3、5、6、7、9、10、11、12、13，...位（是从最左边的位数起的）
即

数据位	1	2	3	4	5	6	7	8	9	10
代码	P1	P2	D1	P3	D2	D3	D4	P4	D5	D6
实际值			1		0	1	1		0	1

3.求出校验码的值

                                                D=101101

二进制	0001	0010	0011	0100	0101	0110	0111	1000	1001	1010
数据位	1	2	3	4	5	6	7	8	9	10
代码	P1	P2	D1	P3	D2	D3	D4	P4	D5	D6
实际值	0	0	1	0	0	1	1	1	0	1

可以看出P1对应的二进制第一位为1（看二进制是几位的话就看最后一个数据位是几位二进制格式）可以发现D1，D2，D4，D5对应的二进制第一位也是1，则P1代码校验的数据为D1,D2,D4,D5
令所有要校验的位异或=0（即同0异1）
1 0 1 0
P1⊕D1⊕D2⊕D4⊕D5⊕=0 可推出P1=0
1 0 0
同理P2对应的二进制第二位是1，则P2代码校验的数据为D1,D3,D4,D6
1 1 1 1
P2⊕D1⊕D3⊕D4⊕D6⊕=0 可推出P2=0
0 1 0
同理P3对应的二进制第三位是1，则P3代码校验的数据为D2,D3,D4
0 1 1
P3⊕D2⊕D3⊕D4=0 可推出P3=0
1 0
同理P4校验的数据为D5，D6
0 1
P3⊕D5⊕D6=0 可推出P4=0
1
具体的计算方法我参阅了http://www.cnblogs.com/scrutable/p/6052127.html，即

p1（第1个校验位，也是整个码字的第1位）的校验规则是：从当前位数起，校验1位，然后跳过1位，再校验1位，再跳过1位，....。这样就可得出p1校验码位可以校验的码字位包括：第1位（也就是p1本身）、第3位、第5位、第7位、第9位、第11位、第13位、第15位，...。然后根据所采用的是奇校验，还是偶校验，最终可以确定该校验位的值。

p2（第2个校验位，也是整个码字的第2位）的校验规则是：从当前位数起，连续校验2位，然后跳过2位，再连续校验2位，再跳过2位，……。这样就可得出p2校验码位可以校验的码字位包括：第2位（也就是p2本身）、第3位，第6位、第7位，第10位、第11位，第14位、第15位，...。同样根据所采用的是奇校验，还是偶校验，最终可以确定该校验位的值。

p3（第3个校验位，也是整个码字的第4位）的校验规则是：从当前位数起，连续校验4位，然后跳过4位，再连续校验4位，再跳过4位，……。这样就可得出p4校验码位可以校验的码字位包括：第4位（也就是p4本身）、第5位、第6位、第7位，第12位、第13位、第14位、第15位，第20位、第21位、第22位、第23位，...。同样根据所采用的是奇校验，还是偶校验，最终可以确定该校验位的值。

p4（第4个校验位，也是整个码字的第8位）的校验规则是：从当前位数起，连续校验8位，然后跳过8位，再连续校验8位，再跳过8位，……。这样就可得出p4校验码位可以校验的码字位包括：第8位（也就是p4本身）、第9位、第10位、第11位、第12位、第13位、第14位、第15位，第24位、第25位、第26位、第27位、第28位、第29位、第30位、第31位，...。同样根据所采用的是奇校验，还是偶校验，最终可以确定该校验位的值。

综上所述101101的海明码为0010011101

4.检验并纠错

                                               D=101101

二进制	0001	0010	0011	0100	0101	0110	0111	1000	1001	1010
数据位	1	2	3	4	5	6	7	8	9	10
代码	P1	P2	D1	P3	D2	D3	D4	P4	D5	D6
实际值	0	0	1	0	0	1	1	1	0	1

故101101的海明码为0010011101
假设第五位出错，因此接收到的数据位为00101111101
对所有要校验的位异或运算
0 1 1 1 0
P1⊕D1⊕D2⊕D4⊕D5⊕=1
1 0 1 1

0 1 1 1 1
P2⊕D1⊕D3⊕D4⊕D6=0
1 0 1 0

0 1 1 1
P3⊕D2⊕D3⊕D4=1
1 0 1

1 0 1
P3⊕D5⊕D6=0=0
1 0
从P4往P1写可得到0101，即二进制序列为0101，恰好对应的二进制5，这样就找到了出错的位置，即出错位是第五位