kb-07-RMQ线段树--07（动态规划）

RMQ是一类解决区间最值查询的算法的通称；、一共有四类；在代码中有说明；

下面是ST算法，就是动态规划做法；

来看一下ST算法是怎么实现的（以最大值为例）：

首先是预处理，用一个DP解决。设a是要求区间最值的数列，f[i,j]表示从第i个数起连续2^j个数中的最大值。例如数列3 2 4 5 6 8 1 2 9 7 ,f[1,0]表示第1个数起，长度为2^0=1的最大值，其实就是3这个数。f[1,2]=5，f[1,3]=8，f[2,0]=2，f[2,1]=4……从这里可以看出f[i,0]其实就等于a[i]。这样，DP的状态、初值都已经有了，剩下的就是状态转移方程。我们把f[i,j]（j≥1）平均分成两段（因为j≥1时，f[i,j]一定是偶数个数字），从i到i+2^(j-1)-1为一段，i+2^(j-1)到i+2^j-1为一段（长度都为2^（j-1））。用上例说明，当i=1，j=3时就是3,2,4,5 和6,8,1,2这两段。f就是这两段的最大值中的最大值。于是我们得到了动规方程F[i,j]=max(F[i,j-1],F[i+2^(j-1),j-1])。

接下来是得出最值，也许你想不到计算出f有什么用处，一般要想计算max还是要O(logn)，甚至O(n)。但有一个很好的办法，做到了O(1)。还是分开来。如在上例中我们要求区间[2,8]的最大值，就要把它分成[2,5]和[5,8]两个区间，因为这两个区间的最大值我们可以直接由f[2,2]和f[5,2]得到。扩展到一般情况，就是把区间[l,r]分成两个长度为2^n的区间（保证有f对应）。直接给出表达式：

k:=trunc(ln(r-l+1)/ln(2));

ans:=max(F[l,k],F[r-2^k+1,k]);

这样就计算了从l开始，长度为2^k的区间和从r-2^k+1开始长度为2^k的区间的最大值（表达式比较繁琐，细节问题如加1减1需要仔细考虑），二者中的较大者就是整个区间[l,r]上的最大值。

/*
RMQ算法、
RMQ是一个通称，专指区间求最值的算法；
分为：暴力，线段树，动态规划（ST），RMQ标准算法；四种
这一题用普通的线段树也是可以做的，维护区间最大值和区间最小值然后查询区间最值然后做差就行了；
这里用的是动态规划法就是ST；
 */
#include<iostream>
#include<cstdio>
#include<algorithm>
#include<cstring>
using namespace std;
int n,q;
int a[50005]={0},d[50005][100]={0},dd[50005][100]={0};
void RMQ_inti_min()
{
    for(int i=0;i<n;i++)
    {
        d[i][0]=a[i];
    }
    for(int i=1;(1<<i)<=n;i++)//控制的是第二维；
    {     
        for(int j=0;j+(1<<i)-1<n;j++)
        {
             d[j][i]=min(d[j][i-1],d[j+(1<<(i-1))][i-1]);
        }
    }
}
void RMQ_inti_max()
{
    for(int i=0;i<n;i++)
    {
        dd[i][0]=a[i];
    }
    for(int i=1;(1<<i)<=n;i++)//控制的是第二维；
    {     
        for(int j=0;j+(1<<i)-1<n;j++)
        {
             dd[j][i]=max(dd[j][i-1],dd[j+(1<<(i-1))][i-1]);
        }
    }
}
int RMQ_min(int l,int r)
{
    int k=0;
    while((1<<(k+1))<=r-l+1)
        k++;
    return min(d[l][k],d[r-(1<<k)+1][k]);
}
int RMQ_max(int l,int r)
{
    int k=0;
    while((1<<(k+1))<=r-l+1)
        k++;
    return max(dd[l][k],dd[r-(1<<k)+1][k]);
}
int main()
{
    while(scanf("%d%d",&n,&q)!=EOF)
    {
        memset(a,0,sizeof(a));
        memset(d,0,sizeof(d));
        memset(dd,0,sizeof(dd));
        for(int i=0;i<n;i++)
        {
            scanf("%d",&a[i]);
        }
        RMQ_inti_min();
        RMQ_inti_max();
        for(int i=0;i<q;i++)
        {
            int l,r;
            scanf("%d%d",&l,&r);
            int max=RMQ_max(l-1,r-1);
            int min=RMQ_min(l-1,r-1);
            printf("%d
",max-min);
        }
    }
    return 0;
}