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  • 弧长与单位切向量

    1. 弧长L=∫|v|dt

        即弧长是速率对时间的积分,为一标量。对应的,位置向量r是个向量(这话怎么这么饶舌……)。

    2. 单位切向量T=v/|v|,表示运动方向。

    3. T=v/|v|=dr/ds

        运动方向=单位切向量=位置变化/弧长变化

    4. 曲率κ=|dT/ds|

        T表示的是运动方向,因此|ΔT/Δs|就表示运动方向的变化量与弧长变化量的比例关系,也就是曲率。在同样的弧长变化量下,运动方向变化越剧烈,κ越大,弯曲越厉害。

        κ= |dT/dt| / |v|

        直观上看,ds=|v|dt,因此κ=|dT/ds|=(1/|v|)|dT/dt|

    5. 单位法向量N=(1/κ)(dT/ds)=(dT/dt)/|dT/dt|

        T是表示运动方向的单位切向量,于是dT/dt表示运动方向的变化。T为单位向量(长度总为1),因此dT/dt垂直于T(定长向量垂直于其导数)。单位化后即得到N。

    6. rvTN的关系总结

        v=dr/dt,归一化后得到T

        (非单位)法向量=dT/dt,归一化后得到N

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