离散时间信号与系统

0. 复指数（或复正弦）序列的频率问题

复指数序列表达式e^jωn中，n为无量纲数，因此ω的单位是弧度（所以频率分别为ω和ω+2PI的信号是相同的）；相对应的连续域频率的单位是rad/s。

如果非要对应上的话，可以将复指数序列的频率单位看作弧度/采样点。

用单位圆上运动点的轨迹来演示：

连续域的频率是点的角速度（弧度/秒），比如1秒跑过两周，角速度（频率）就是4PI/s；

离散域的频率是点的角位置（弧度），一秒跑一周和一秒跑两周，角位置是一样一样的。

1. 一般复指数序列

一般性的复指数序列表达式x[n]=Aαⁿ，A和α都是复数。A决定信号初始条件（初始幅度和（初始）相位），α决定信号“变化”情况（频率、增长或衰减）。

写成下面的式子更容易看出来：

x[n]=Aαⁿ=|A|e^jφ|α|ⁿe^jωn

|α|<1是衰减序列；

|α|>1是增长序列。

由于n为无量纲整数，所以ω的单位只能是弧度：Hz的意义（每秒重复次数）与连续时间紧密相关，不能用于复指数序列。

相应的，复指数序列的周期和频率也不再具有简单的关系（ωN未必等于2pi）；但与连续时间类比仍有类似式子：

连续时间：ωT=2PI

离散时间：ωN=2PI·m

当ω/2PI是有理数时，离散复指数信号是周期信号。

2. 线性常系数差分方程

如果一个系统由一个线性常系数差分方程描述，且是线性时不变和因果的，那么它的解是唯一的。

3. 系统稳定的充要条件是其单位脉冲响应是绝对可和的。

4. 一个系统的输入x[n]总可以表示为一系列加权移位的单位冲激序列之和；这样根据线性时不变系统的性质，其响应就是一系列加权移位的单位冲激响应之和。

5. 若h[n] = Σ_ka_kδ[n-k]

    则y[n] = Σ_ka_kx[n-k]

6. 处理卷积式子的时候要注意，变换前要将其转换为正规式子。

   例如y[n]=h[n]*x[n]

               =Σh[k]x[n-k]

         y[n-n0]=Σh[k]x[n-n0-k]

                =h[n]*x[n-n0]

   即卷积符号不满足代入法则。

7. LTI系统的特征函数

   若给一个LTI系统输入e^jωn，那么根据LTI系统的卷积性质：

   y[n]=e^jωn*h[n]

         =Σ e^jω(n-k)h[k]

         =Σ e^jωne^-jωkh[k]

         =Σh[k]e^-jωke^jωn

         =H(e^jω)e^jωn

         H(e^jω)是ω的函数（只与ω有关），因此H(e^jω)确定了对某个特定输入e^jωn的增益。

         LTI系统的特征函数（频率响应）就是该系统的单位脉冲响应的傅里叶变换。

8. 卷积式子y[n]=Σx[k]h[n-k]，x与h的下标之和为n，这个从卷积的意义上很好理解，也就很好记忆。连续情况同理。