线性反馈系统

1. 应用场合

1.1 逆系统

      将系统P置于反馈环路，可得到逆系统Q：

      Q=K/(1+KP)

      其中K是正向增益。若K足够大，那么Q=1/P。

1.2 非理想元件补偿

      典型的应用是运放反馈电路。

      Q=H/(1+KH)

      H随外界环境和输入信号频率而变化，然而若H足够大，Q=1/K。

1.3 不稳定系统的稳定

      添加反馈路径，将极点挪到左半平面或单位圆内。

2. 根轨迹分析

2.1 闭环方程为Q=H/(1+KGH)。

2.2 极点方程为1+KGH=0，或GH=-1/K。

2.3 若K为实数，那么对于极点方程的每一个解，GH的相角总是PI的倍数。奇数倍时K>0，偶数倍时K<0。

2.4 根轨迹即K变化时s的轨迹。

2.5 当K从0开始到±∞时，1/K从-/+∞到0，对应根轨迹总是从GH极点出发到达GH零点。

2.4 matlab画根轨迹：以GH=(s-1)/[(s+1)(s+2)]为例。

     K>0时：

     >> n=[0 1 -1];
     >> d=[1 3 2];
     >> rlocus(n,d);

     对K<0，任取n或d为负即可：   

     >> n=[0 -1 1];
     >> rlocus(n,d);

3. 奈奎斯特判据

3.1 围线性质

      在p平面内绕闭合路径C一周，W(p)以相同方向环绕原点的净次数等于C内W(p)的零点数减去极点数。

3.2 对连续时间系统，一个稳定系统要求1+KGH在右半平面没有零点。当围线包围整个右半平面，1+KGH环绕原点净次数为0。

3.3 当ω从-∞到＋∞，G(jω)H(jω)的图就是奈奎斯特图。

3.4 1+KGH的极点就是GH的极点；1+KGH的零点就是闭环极点；GH绕-1/k的次数就是1+GH绕原点的次数。

3.5 奈奎斯特图绕-1/k的净次数=右半平面闭环极点数-GH在右半平面极点数。

3.6 奈奎斯特稳定性判据：一个闭环稳定系统，G(jω)H(jω)的奈奎斯特图逆时针绕-1/K的净次数等于G(s)H(s)在右半平面的极点数。

3.7 GH的奈奎斯特图可以参照GH的波特图画出来。

3.8 Matlab画波特图

     >> GH=tf([1],[0.5 1.5 1]);    % G(s)=1/(s+1), H(s)=1/(0.5s+1), G(s)H(s)=1/(0.5s²+1.5s+1)

     >> bode(GH)

     >> margin(GH)                    % 增益裕度和相位裕度

3.9 Matlab画s域奈奎斯特图

    >> GH=tf([1],[0.5 1.5 1]);    % G(s)=1/(s+1), H(s)=1/(0.5s+1), G(s)H(s)=1/(0.5s²+1.5s+1)

    >> nyquist(GH)

3.10 Matlab画z域奈奎斯特图

    >> dnyquist([0 0 1], [1 0.5 0], 0.1)    % GH=1/(z²+0.5z), Ts=0.1