离散希尔伯特变换

一般情况下，我们需要有关幅度和相位（或实部和虚部）在(-PI, PI]上的全部信息才能完整描述一个序列的傅里叶变换特性；但在特定情况下，有可能不需要这些全部的信息。

1. 因果实序列

因果实序列可以从它的偶对称分量（ (x[n] + x[-n]) / 2 ）恢复出来；而偶对称序列的傅里叶变换只有实数分量。因此，因果实序列只需要其傅里叶变换的实数部分（对应该序列的偶对称分量）就可以完全描述。当已知因果实序列的傅里叶变换X_R，可以通过X_R和cot(ω/2)的卷积积分（可能需要乘上一个负的系数）求得X_I。这样，由于一个物理可实现系统的冲击响应是因果函数，因此其传递函数是一个解析函数（传递函数的实部和虚部满足希尔伯特变换关系）。

2. 有限长实序列

有限长序列具有离散傅里叶变换，可以使用FFT从X_R计算X_I。

3. 幅度与相位的关系

 在最小相位条件下，幅度和相位之间具有确定的关系，且复倒谱是因果的。

（复倒谱：（log|X|+jarg[X]）的傅里叶反变换，可以将时域卷积关系变换为时域相加关系：）　 

X₁(ω)=DFT[x₁(n)]

X₂(ω)=DFT[x₂(n)]

X(ω)=DFT[x(n)]=DFT[x₁(n)*x₂(n)]=X₁(ω)X₂(ω)

x^{^}(n)=IDFT｛log[X(ω)]｝ 
　　 =IDFT｛log[X₁(ω)]｝＋IDFT｛log[X₂(ω)]｝