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  • 状态空间的离散时间模型

    离散时间模型可表示为如下形式:

    $mathbf{x}_{k+1} = oldsymbol{phi}_k mathbf{x}_k + mathbf{w}_k$

    $mathbf{y}_k = mathbf{B}_kmathbf{x}_k $

    其中:

    $mathbf{x}_k$: $t_k$时刻的状态向量

    $oldsymbol{phi}_k$: 状态转换矩阵

    $mathbf{w}_k$: 零均值时间不相关序列

    注意:对同一时刻$t_k$,状态向量各元素$mathbf{w}_1,mathbf{w}_2ldots$一般是相关的。将$mathbf{w}_k$的协方差矩阵记为$mathbf{Q}_k$。

    如果离散时间模型是通过对连续时间模型采样得到的,我们需要求解连续时间状态方程以得到离散时间模型中的各参数($oldsymbol{phi}_k,mathbf{w}_k,mathbf{Q}_k$等)。

    连续过程方程如下:

    $dot{mathbf{x}}=mathbf{Fx} + mathbf{Gw}$

    设采样时间点为$t_0, t_1 ldots, t_k, t_{k+1} ldots$,可得方程在$t_{k+1}$时刻的解为*:

    $mathbf{x}(t_{k+1}) = oldsymbol{phi} (t_{k+1}, t_k)mathbf{x}(t_k) + int_{t_k}^{t_{k+1}} oldsymbol{phi}(t_{k+1}, au) mathbf{G}( au) mathbf{w}( au)d au$

    *现代控制工程.第四版.Katsuhiko Ogata.708.

    将这个式子和前面离散时间模型的式子对比可看出,两者具有相似的形式,即$ oldsymbol{phi}_k$就是$oldsymbol{phi} (t_{k+1}, t_k)$,是从step$t_k$到step$t_{k+1}$的状态转换矩阵;$mathbf{w}_k$是在${t_k,t_{k+1}}$间隔内由输入端白噪声驱动的响应。

    $w_k$的协方差矩阵可计算如下:

    $mathbf{Q}_k=E[mathbf{w}_kmathbf{w}_k^T]$

    $=Eig{   ig[ int_{t_k}^{t_{k+1}} oldsymbol{phi}(t_{k+1}, u) mathbf{G}(u) mathbf{w}(u)du ig]  ig[ int_{t_k}^{t_{k+1}}oldsymbol{phi}(t_{k+1},v) mathbf{G}(v) mathbf{w}(v)dv ig]^T   ig}$

    $=int_{t_k}^{t_{k+1}} int_{t_k}^{t_{k+1}} oldsymbol{phi}(t_{k+1}, u)mathbf{G}(u)E[mathbf{w}(u)mathbf{w}^T(v)]mathbf{G}^T(v)oldsymbol{phi}^T(t_{k+1},v)dudv$

    我们用下面的系统作例子。

    $w(t) longrightarrow igg[frac{sqrt{2sigma ^2eta}}{s+eta}igg]  longrightarrow igg[frac{1}{s}igg] longrightarrow y$

    上图中,$w(t)$是单位白噪声,经过系统$igg[frac{sqrt{2sigma ^2eta}}{s+eta}igg]$之后得到Gauss Markov process $x_2$,再经过积分$igg[frac{1}{s}igg]$后得到integrated Gauss Markov process $x_1$,$x_1$同时也是系统最终输出的观察量$y$。

    连续模型如下:

    $left[egin{matrix}dot{x_1}\dot{x_2}end{matrix} ight] = left[egin{matrix}0&1\0&-etaend{matrix} ight] left[egin{matrix}x_1\x_2end{matrix} ight] + left[egin{matrix}0\sqrt{2sigma^2eta}end{matrix} ight]w(t)$

    $y=left[egin{matrix}1&0end{matrix} ight]left[egin{matrix}x_1\x_2end{matrix} ight]$

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