贝叶斯公式
马尔可夫过程
圆周率:
const double pi = 4.0 * atan(1.0);
指数:
曾经有人问爱因斯坦,世界上什么事情最可怕?爱因斯坦说:“复利最可怕.”
复利就是将本金按一定利息存入银行,到期将利息计入本金继续存入银行,本利不断增加。如果本金为a,年利息率为x,n年后可以从银行取出的钱为a(1+x)^n。一般年利率x不会超过15%,而指数项,即存入银行的年限n却增长很快,当n足够大时,本利相加会达到极其大的值。纽约曼哈顿地区是早期移民以价值200美元的珠宝从印地安人手中买下的,如果当初将200美元存入银行,到今天本息比现在曼哈顿的全部房产价值还要高。如果你现在存入银行1000元,年利率5%,如果计复利的话,那么200年后的你的后代会从银行取到1000(1+0.05)^200=1.73^107元。你的1千元的本金就会使你的后代成为千万富翁!复利是不是很可怕呢?
传说在古印度有位国王要赏赐一位宰相,就问宰相想要什么,宰相拿出一张国际象棋的棋盘。笑着说,我只求您给我一些麦粒,在第一个格子里放一粒(2^0),第二格子里放两粒(2^1),第三个格子里放四粒(2^2),也就是第n个格子里放2^(n-1)粒,直到每个格子的麦粒放好.国王以为这太简单了,就爽快地答应了。可是等到真要执行这个诺言时国王却不得不反悔了.这是为什么呢?国际象棋棋盘共有64个格,按宰相的要求总共?国际象棋棋盘共有64个格,按宰相的要求总共需要的麦粒数为等比级数2°,2^1,......,2^63的和,即为1—2^63/1—2=9.22*10^18粒。若1公斤麦粒5万粒,那么总共需要的麦粒为1.84*10^11吨。这些麦粒也许把全国的麦子全拿来都不够,国王怎么可能答应呢?
不管是复利的可怕还是宰相的狡猾,都是因为其中含有共同的关键因素——指数项n,是指数项n的奇妙作用,使得看似简单的事情令人吃惊。
对数:
基本性质 如果a>0,且a≠1,M>0,N>0,那么:
1、a^log(a) N=N (对数恒等式)
证:设log(a) N=t,(t∈R)
则有a^t=N
a^(log(a)N)=a^t=N.
2、log(a) a=1
证:因为a^b=a^b
令t=a^b
所以a^b=t,b=log(a)(t)=log(a)(a^b)
令b=1,则1=log(a)a
3、log(a) (M·N)=log(a) M+log(a) N
4、log(a) (M÷N)=log(a) M-log(a) N
5、log(a) M^n=nlog(a) M
6、log(a)b*log(b)a=1
7、log(a) b=log (c) b÷log (c) a (换底公式)
基本性质5推广
log(a^n)(b^m)=m/n*[log(a)(b)]
推导如下:
由换底公式
log(a^n)(b^m)=ln(b^m)÷ln(a^n)
换底公式的推导:
设e^x=b^m,e^y=a^n
则log(a^n)(b^m)=log(e^y)(e^x)=x÷y
x=ln(b^m),y=ln(a^n)
得:log(a^n)(b^m)=ln(b^m)÷ln(a^n)
由换底公式
log(a^n)(b^m) = [m×ln(b)]÷[n×ln(a)] = (m÷n)×{[ln(b)]÷[ln(a)]}
再由基本性质5可得
log(a^n)(b^m)=m÷n×[log(a)(b)]
动态规划:
分类 动态规划一般可分为线性动规,区域动规,树形动规,背包动规四类。
举例
线性动规
拦截导弹,合唱队形,挖地雷,建学校,剑客决斗等
区域动规
石子合并, 加分二叉树,统计单词个数,炮兵布阵等
树形动规
贪吃的九头龙,二分查找树,聚会的欢乐等
背包问题
01背包问题,完全背包问题,分组背包问题,二维背包,装箱问题,挤牛奶(同济ACM第1132题)等
应用实例
最短路径问题 ,项目管理,网络流优化等