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  • jzoj6004. 【PKUWC2019模拟2019.1.17】集合 (组合数学)

    题面

    题解

    这种题目就是要好好推倒

    我们枚举最小的数是哪一个,那么答案就是$$Ans=sum_{i=1}^nT^i{n-ichoose k-1}$$
    因为有$$sum_{i=p}^n{n-ichoose k-1}={n-p+1choose k}$$
    原式太难算了,我们可以先计算(sum_{i=1}^nT{n-ichoose k-1}=T imes {nchoose k}),再加上(sum_{i=2}^n(T^2-T){n-ichoose k-1}=(T^2-T) imes {n-1choose k}),就这样拆开来然后一直加下去,于是答案可以化为$$Ans={nchoose k}+sum_{i=1}^n(T^i-T^{i-1}){n-i+1choose k}$$
    前面加的那个({nchoose k})是因为后面算的时候多减了要加回去

    继续推倒$$Ans={nchoose k}+(T-1)sum_{i=1}^nT^{i-1}{n-i+1choose k}$$
    然后我们考虑枚举(i-1)

    [Ans={nchoose k}+(T-1)sum_{i=0}^nT^i{n-ichoose k} ]

    后面上界写成(n)没关系,因为(kgeq 1),所以当(i)取到(n)的时候后面的({0choose k})(0)

    我们记$$A_k=sum_{i=1}^nT^i{n-ichoose k}$$

    因为答案的两种表现形式是一样的,所以他们是相等的,即有$$A_{k-1}={nchoose k}+(T-1)A_k+(T-1){nchoose k}$$

    整理之后有$$A_k=frac{A_{k-1}-T imes {nchoose k}}{T-1}$$
    边界条件为(A_0),代入之后发现(A_0)是个等比数列求和的形式,所以有$$A_0=frac{T(1-T^n)}{1-T}$$
    预处理一下逆元,直接(O(k))递推就行了,最后的答案是$$Ans=frac{A_{k-1}}{{nchoose k}}$$

    注意特判(T=1)的情况,答案就是(1)

    //minamoto
    #include<bits/stdc++.h>
    #define R register
    #define fp(i,a,b) for(R int i=a,I=b+1;i<I;++i)
    #define fd(i,a,b) for(R int i=a,I=b-1;i>I;--i)
    #define go(u) for(int i=head[u],v=e[i].v;i;i=e[i].nx,v=e[i].v)
    using namespace std;
    const int N=1e7+5,P=998244353;
    inline int add(R int x,R int y){return x+y>=P?x+y-P:x+y;}
    inline int dec(R int x,R int y){return x-y<0?x-y+P:x-y;}
    inline int mul(R int x,R int y){return 1ll*x*y-1ll*x*y/P*P;}
    int ksm(R int x,R int y){
    	R int res=1;
    	for(;y;y>>=1,x=mul(x,x))if(y&1)res=mul(res,x);
    	return res;
    }
    int inv[N],A[N],n,k,T,invt,res=1;
    int main(){
    //	freopen("testdata.in","r",stdin);
    	freopen("set.in","r",stdin);
    	freopen("set.out","w",stdout);
    	scanf("%d%d%d",&n,&k,&T);
    	inv[0]=inv[1]=1;fp(i,2,k)inv[i]=1ll*inv[P%i]*(P-P/i)%P;
    	if(T==1)return puts("1"),0;
    	A[0]=mul(T,dec(1,ksm(T,n))),A[0]=mul(A[0],ksm(dec(1,T),P-2));
    	invt=ksm(T-1,P-2);
    	fp(i,1,k){
    		res=1ll*res*inv[i]%P*(n-i+1)%P;
    		A[i]=dec(A[i-1],mul(T,res));
    		A[i]=mul(A[i],invt);
    	}
    	printf("%d
    ",mul(A[k-1],ksm(res,P-2)));
    	return 0;
    }
    
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  • 原文地址:https://www.cnblogs.com/bztMinamoto/p/10281638.html
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