拉格朗日反演

拉格朗日反演

设有两个多项式(F(x))和(G(x))，两个多项式都是常数项为(0)且(1)次项不为(0)，如果满足(G(F(x))=x)，则称(F(x))和(G(x))互为复合逆，有

[[x^n]F(x)={1over n}[x^{-1}]{1over G^n(x)} ]

[[x^n]H(F(x))={1over n}[x^{-1}]H'(x){1over G^n(x)} ]

其中([x^n]F(x))表示多项式(F(x))的(n)次项系数。把(F)和(G)交换位置也成立（大概……）

前置芝士

当我第一次看到这两个式子的时候是懵逼的，一个好好多项式的哪来的(x^{-1})？

然后看了看发现这好像是抽代里的芝士……我根本不会啊……

然后随便看了看书……大概是这么定义的

环：设(R)是一个非空集合，如果(R)上定义了两个代数运算（代数运算就代表有封闭性），一个是加法，一个是乘法，并且满足一下三个条件

1.(R)对于加法成一个交换群（就是(R)对于加法成一个群，且这个加法满足交换律）

2.乘法有结合律

3.乘法对加法有分配律，即(a(b+c)=ab+ac,(b+c)a=ba+ca)（左右都有分配律）

那么(R)就是一个环

然后域的定义就是：如果(R)的乘法有单位元，满足交换律，并且每一个非(0)元都可逆，那么(R)就是一个域

我们平时做的只是在形式幂级数环上的东西，就是形如(a_0+a_1x+a_2x^2+...)，记为(F[[x]])（(F)是一个域，(OI)里一般都是复数域或者模(P)意义下的域）

首先它并不是一个域，因为形如(x)这种没有常数项的多项式是不可逆的

然后我们需要一个域，是一个叫做分式环的东西（虽然叫环但它是个域），为所有形如(ab^{-1},a,bin R,b eq 0)的元素组成（这里除法只是个形式，并不需要(b)真的可逆）。我们把(F[[x]])的分式环记为(F((x)))

然后(F((x)))中的每个元素都能表示成(...a_{-2}x^{-2}+a_{-1}x^{-1}+a_0+a_1x^1+a^2x^2+...)的形式

为啥嘞？对于(F((x)))中的每一个元素(A(x)/B(x))，我们把(B(x))表示成(x^dB'(x))的形式，其中(B'(x))是一个常数项非(0)的多项式（不是导数），那么(B'(x))就可逆，计算出(A(x)/B'(x))之后，把每一项次数减去(d)就行了

那么在(F((x)))下我们就不用担心(B(x))不可逆之类的问题了

证明

所以你叽里呱啦说了一大堆有什么用啊！

对于(G(F(x))=x)，我们可以写成

[sum_{i=1}^infty a_iF^i(x)=x ]

两边求导，得

[sum_{i=1}^infty ia_iF^{i-1}(x)F'(x)=1 ]

这里的(F'(x))就代表(F(x))的导数了

我们两边同除以(F^n(x))，同时取(x^{-1})的系数

[[x^{-1}]sum_{i=1}^infty ia_iF^{i-n-1}(x)F'(x)=[x^{-1}]{1over F^n(x)} ]

对于左边，我们发现当(i eq n)的时候，(F^{i-n-1}(x)F'(x))等价于({1over i-n}(F^{i-n})'(x))，由于任何一个多项式求导之后(-1)次项都为(0)所以这一部分都不用去考虑，只要管(i=n)的时候就行了

当(i=n)的时候，有

[egin{aligned} F^{-1}(x)F'(x) &={a_1+2a_2x+3a_3x^2+...over a_1x+a_2x^2+a_3x^3+...}\ &=frac{a_1+2a_2x+3a_3x^2+cdots}{a_1x}cdot frac{1}{1+left(frac{a_2}{a_1}x+frac{a_3}{a_1}x^2+cdots ight)}\ end{aligned} ]

对于后面分母中那个多项式来说，因为它的常数项不为(0)所以它可逆，且它的逆常数项必为(1)。而前面那个多项式只有第一项次数为(-1)，而且第一项的系数为(1)

于是我们发现([x^{-1}]F^{-1}(x)F'(x)=1)

代入原式中就有(a_n=[x^{-1}]{1over n}{1over F^n(x)})

然后就证完了

等会儿，你给我这式子了，那我咋求(x^{-1})？我的形式幂级数里可没有(-1)次项啊？

因为(F(x))常数项为(0)且(1)次项不为(0)，我们令(F'(x)=F(x)/x)，那么原式就能变成(a_n=[x^{-1}]{1over n}{x^nover F'^n(x)}=[x^{n-1}]{1over n}{1over F'^n(x)})，这就完全转化成形式幂级数的形式了，问题解决