拉格朗日反演
设有两个多项式(F(x))和(G(x)),两个多项式都是常数项为(0)且(1)次项不为(0),如果满足(G(F(x))=x),则称(F(x))和(G(x))互为复合逆,有
其中([x^n]F(x))表示多项式(F(x))的(n)次项系数。把(F)和(G)交换位置也成立(大概……)
前置芝士
当我第一次看到这两个式子的时候是懵逼的,一个好好多项式的哪来的(x^{-1})?
然后看了看发现这好像是抽代里的芝士……我根本不会啊……
然后随便看了看书……大概是这么定义的
环:设(R)是一个非空集合,如果(R)上定义了两个代数运算(代数运算就代表有封闭性),一个是加法,一个是乘法,并且满足一下三个条件
1.(R)对于加法成一个交换群(就是(R)对于加法成一个群,且这个加法满足交换律)
2.乘法有结合律
3.乘法对加法有分配律,即(a(b+c)=ab+ac,(b+c)a=ba+ca)(左右都有分配律)
那么(R)就是一个环
然后域的定义就是:如果(R)的乘法有单位元,满足交换律,并且每一个非(0)元都可逆,那么(R)就是一个域
我们平时做的只是在形式幂级数环上的东西,就是形如(a_0+a_1x+a_2x^2+...),记为(F[[x]])((F)是一个域,(OI)里一般都是复数域或者模(P)意义下的域)
首先它并不是一个域,因为形如(x)这种没有常数项的多项式是不可逆的
然后我们需要一个域,是一个叫做分式环的东西(虽然叫环但它是个域),为所有形如(ab^{-1},a,bin R,b eq 0)的元素组成(这里除法只是个形式,并不需要(b)真的可逆)。我们把(F[[x]])的分式环记为(F((x)))
然后(F((x)))中的每个元素都能表示成(...a_{-2}x^{-2}+a_{-1}x^{-1}+a_0+a_1x^1+a^2x^2+...)的形式
为啥嘞?对于(F((x)))中的每一个元素(A(x)/B(x)),我们把(B(x))表示成(x^dB'(x))的形式,其中(B'(x))是一个常数项非(0)的多项式(不是导数),那么(B'(x))就可逆,计算出(A(x)/B'(x))之后,把每一项次数减去(d)就行了
那么在(F((x)))下我们就不用担心(B(x))不可逆之类的问题了
证明
所以你叽里呱啦说了一大堆有什么用啊!
对于(G(F(x))=x),我们可以写成
两边求导,得
这里的(F'(x))就代表(F(x))的导数了
我们两边同除以(F^n(x)),同时取(x^{-1})的系数
对于左边,我们发现当(i eq n)的时候,(F^{i-n-1}(x)F'(x))等价于({1over i-n}(F^{i-n})'(x)),由于任何一个多项式求导之后(-1)次项都为(0)所以这一部分都不用去考虑,只要管(i=n)的时候就行了
当(i=n)的时候,有
对于后面分母中那个多项式来说,因为它的常数项不为(0)所以它可逆,且它的逆常数项必为(1)。而前面那个多项式只有第一项次数为(-1),而且第一项的系数为(1)
于是我们发现([x^{-1}]F^{-1}(x)F'(x)=1)
代入原式中就有(a_n=[x^{-1}]{1over n}{1over F^n(x)})
然后就证完了
等会儿,你给我这式子了,那我咋求(x^{-1})?我的形式幂级数里可没有(-1)次项啊?
因为(F(x))常数项为(0)且(1)次项不为(0),我们令(F'(x)=F(x)/x),那么原式就能变成(a_n=[x^{-1}]{1over n}{x^nover F'^n(x)}=[x^{n-1}]{1over n}{1over F'^n(x)}),这就完全转化成形式幂级数的形式了,问题解决