题面
题解
我对生成函数一无所知
我们设(F(x))为斐波那契数列的生成函数，(G(x))为答案的生成函数，那么容易得到递推关系
[g_n=sum_{i=0}^{n-1}f_ig_{n-i}+f_n
]
其中(g_0=0,g_1=1)
那么写成生成函数的形式就是
[G=FG+F
]
[G={Fover 1-F}
]
我们考虑一下(F)，因为
[F(x)=sum_{i=1}^infty f_ix^i
]
[xF(x)=sum_{i=2}^infty f_{i-1}x^i
]
上面的柿子减去下面的柿子
[(1-x)F(x)=x+sum_{i=2}^infty f_{i-2}x^i
]
即
[(1-x)F(x)=x+x^2F(x)
]
解得
[F(x)={xover 1-x-x^2}
]
代入可解出
[G(x)={xover 1-2x-x^2}
]
我们把(1-2x-x^2)因式分解一下
[G(x)={xover left(1-(1+sqrt{2})x
ight)left(1-(1-sqrt{2})x
ight)}
]
然后裂项
[G(x)={1over 2sqrt{2}}{1over left(1-(1+sqrt{2})x
ight)}-{1over 2sqrt{2}}{1over left(1-(1-sqrt{2})x
ight)}
]
那么现在就变成两个等比数列求和的形式了，可以直接求出(g_n)的通项公式
[g_n={(1+sqrt{2})^n-(1-sqrt{2})^nover 2sqrt{2}}
]
听说大佬们用生成函数只要五行就能写完题解……然而我并看不懂它们在写什么……
//minamoto
#include<bits/stdc++.h>
#define R register
#define fp(i,a,b) for(R int i=(a),I=(b)+1;i<I;++i)
#define fd(i,a,b) for(R int i=(a),I=(b)-1;i>I;--i)
#define go(u) for(int i=head[u],v=e[i].v;i;i=e[i].nx,v=e[i].v)
using namespace std;
const int P=1e9+7,s=59713600;
inline int add(R int x,R int y){return x+y>=P?x+y-P:x+y;}
inline int dec(R int x,R int y){return x-y<0?x-y+P:x-y;}
inline int mul(R int x,R int y){return 1ll*x*y-1ll*x*y/P*P;}
int ksm(R int x,R int y){
R int res=1;
for(;y;y>>=1,x=mul(x,x))if(y&1)res=mul(res,x);
return res;
}
int main(){
// freopen("testdata.in","r",stdin);
int n;scanf("%d",&n);
printf("%d
",mul(dec(ksm(s+1,n),ksm(P+1-s,n)),ksm(mul(s,2),P-2)));
return 0;
}