洛谷P3648 [APIO2014]序列分割（斜率优化）

传送门

没想到这种多个状态转移的还能用上斜率优化……学到了……

首先我们可以发现，切的顺序对最终答案是没有影响的

比方说有一个序列$abc$，每一个字母都代表几个数字，那么先切$ab$再切$bc$，得分是$ab+bc+ac$，而如果先切$bc$再切$ab$，得分也是$ab+bc+ac$，不难看出得分是一样的

那么我们可以考虑一下转移方程$$dp[a][i]=max{dp[a-1][j]+sum[j]*(sum[i]-sum[j])}$$

其中$a$表示切几刀，$sum$表示前缀和

然后发现空间复杂度太大了，又发现每一刀的状态只与前一刀有关，那么可以用滚动数组优化

然后上面的转移是$O(n^2k)$的，那么考虑用斜率优化优化到$O(nk)$（以下省略dp的第一维）

我们假设$j>k$且$j$比$k$更优，则有$$dp[j]+sum[j]*(sum[i]-sum[j])>dp[k]+sum[k]*(sum[i]-sum[k])$$

$$(dp[j]-sum[j]^2)-(dp[k]-sum[k]^2)>sum[i]*sum[k]-sum[i]*sum[j]$$

因为$sum[k]-sum[j]$是负数，所以除的时候不等式要变号

$$frac{(dp[j]-sum[j]^2)-(dp[k]-sum[k]^2)}{sum[k]-sum[j]}<sum[i]$$

然后直接上斜率优化

注意特判$sum[k]-sum[j]=0$，随便返回极大值或极小值

顺便注意记录路径

//minamoto
#include<iostream>
#include<cstdio>
#define ll long long
using namespace std;
#define getc() (p1==p2&&(p2=(p1=buf)+fread(buf,1,1<<21,stdin),p1==p2)?EOF:*p1++)
char buf[1<<21],*p1=buf,*p2=buf;
inline int read(){
    #define num ch-'0'
    char ch;bool flag=0;int res;
    while(!isdigit(ch=getc()))
    (ch=='-')&&(flag=true);
    for(res=num;isdigit(ch=getc());res=res*10+num);
    (flag)&&(res=-res);
    #undef num
    return res;
}
char sr[1<<21],z[20];int C=-1,Z;
inline void Ot(){fwrite(sr,1,C+1,stdout),C=-1;}
inline void print(int x){
    if(C>1<<20)Ot();if(x<0)sr[++C]=45,x=-x;
    while(z[++Z]=x%10+48,x/=10);
    while(sr[++C]=z[Z],--Z);sr[++C]=' ';
}
const int N=100005;
int to[205][N],q[N],n,k,h,t,r;
ll sum[N],dp[2][N];
inline double slope(int j,int k){
    if(sum[j]==sum[k]) return 1e18;
    return ((dp[r^1][j]-sum[j]*sum[j])-(dp[r^1][k]-sum[k]*sum[k]))*1.0/(sum[k]-sum[j]);
}
int main(){
    //freopen("testdata.in","r",stdin);
    n=read(),k=read();
    for(int i=1;i<=n;++i) sum[i]=read()+sum[i-1];
    for(int a=1;a<=k;++a){
        r=a&1;
        h=t=0;
        for(int i=1;i<=n;++i){
            while(h<t&&slope(q[h],q[h+1])<sum[i]) ++h;
            to[a][i]=q[h];
            dp[r][i]=dp[r^1][q[h]]+sum[q[h]]*(sum[i]-sum[q[h]]);
            while(h<t&&slope(q[t],q[t-1])>slope(q[t-1],i)) --t;q[++t]=i;
        }
    }
    printf("%lld
",dp[k&1][n]);
    for(int i=k,u=n;i;--i){
        u=to[i][u];
        print(u);
    }
    Ot();
    return 0;
}