题目描述
高一一班的座位表是个n*m的矩阵，经过一个学期的相处，每个同学和前后左右相邻的同学互相成为了好朋友。这学期要分文理科了，每个同学对于选择文科与理科有着自己的喜悦值，而一对好朋友如果能同时选文科或者理科，那么他们又将收获一些喜悦值。
作为计算机竞赛教练的scp大老板，想知道如何分配可以使得全班的喜悦值总和最大。
输入输出格式
输入格式：
第一行两个正整数n，m。
接下来是六个矩阵
- 第一个矩阵为n行m列
此矩阵的第i行第j列的数字表示座位在第i行第j列的同学选择文科获得的喜悦值。
- 第二个矩阵为n行m列
此矩阵的第i行第j列的数字表示座位在第i行第j列的同学选择理科获得的喜悦值。
- 第三个矩阵为n-1行m列
此矩阵的第i行第j列的数字表示座位在第i行第j列的同学与第i+1行第j列的同学同时选择文科获得的额外喜悦值。
- 第四个矩阵为n-1行m列
此矩阵的第i行第j列的数字表示座位在第i行第j列的同学与第i+1行第j列的同学同时选择理科获得的额外喜悦值。
- 第五个矩阵为n行m-1列
此矩阵的第i行第j列的数字表示座位在第i行第j列的同学与第i行第j+1列的同学同时选择文科获得的额外喜悦值。
- 第六个矩阵为n行m-1列
此矩阵的第i行第j列的数字表示座位在第i行第j列的同学与第i行第j+1列的同学同时选择理科获得的额外喜悦值。
输出格式：
输出一个整数，表示喜悦值总和的最大值
输入输出样例
说明
【样例说明】
两人都选理，则获得100+110+1000的喜悦值。
对于100%以内的数据，n,m<=100 所有喜悦值均为小于等于5000的非负整数
题解
额，这题最重要的是一个模型转换的思想。因为最小割可以代表选择或不选择，那么我们就让每一个最小割的状态分别代表题目所示的每一个状态
先考虑建图，假设$A$和$B$是有关联的两点，那么建如下的图
其中$S$表示源点，代表文科，$T$表示汇点，代表理科，$A,B$是互相关联的两点。这张图的意思是，如果某个点与$S$相连，代表它选择文科，如果与$T$相连，代表它选择理科
那么我们考虑一下，要怎么样才能使全文，全理，一文一理三种情况都能出现呢？
我们考虑图中边的流量，a=A文+AB文/2，c=B文+AB文/2，b=A理+AB理/2，d=B理+AB理/2，e=f=AB文/2+AB理/2
因为最小割的割可以代表选择，所以我们可以通过枚举割来枚举选择。那么上图中是不是每一个割都代表了一种选择呢？
我们设sum=A文+B文+A理+B理+AB文+AB理
当两人都选文时，我们割去b，d，那么割的大小为A理+B理+AB理，用sum减去割剩下的就是全选文的高兴值
如果两人都选理，那么我们割去a，c，和上面一个一样，就不多说
如果两人一文一理怎么办呢？我们假设A文B理，割去a，f，d，那么sum减去割的大小就是A选文和B选理的高兴值
综上所述，不难发现上图的每一个割都代表了一种选择的状态。那么我们要令高兴值最大，那么割必须最小，只要求出一个最小割就行了
代码参考（抄）了hzwer的
1 // luogu-judger-enable-o2 2 //minamoto 3 #include<iostream> 4 #include<cstdio> 5 #include<cstring> 6 #include<queue> 7 #define inf 0x3f3f3f3f 8 using namespace std; 9 #define getc() (p1==p2&&(p2=(p1=buf)+fread(buf,1,1<<21,stdin),p1==p2)?EOF:*p1++) 10 char buf[1<<21],*p1=buf,*p2=buf; 11 inline int read(){ 12 #define num ch-'0' 13 char ch;bool flag=0;int res; 14 while(!isdigit(ch=getc())) 15 (ch=='-')&&(flag=true); 16 for(res=num;isdigit(ch=getc());res=res*10+num); 17 (flag)&&(res=-res); 18 #undef num 19 return res; 20 } 21 const int N=10005,M=500005; 22 int head[N],Next[M],ver[M],edge[M],tot=1; 23 int dep[N],cur[N],n,m,s,t,mxflow; 24 int a[105][105],b[105][105],id[105][105],ans; 25 queue<int> q; 26 inline void add_edge(int u,int v,int e){ 27 ver[++tot]=v,Next[tot]=head[u],head[u]=tot,edge[tot]=e; 28 } 29 inline void ins(int u,int v,int e){ 30 add_edge(u,v,e),add_edge(v,u,e); 31 } 32 inline void insert(int u,int v,int e){ 33 add_edge(u,v,e),add_edge(v,u,0); 34 } 35 bool bfs(){ 36 memset(dep,-1,sizeof(dep)); 37 while(!q.empty()) q.pop(); 38 for(int i=s;i<=t;++i) cur[i]=head[i]; 39 q.push(s),dep[s]=0; 40 while(!q.empty()){ 41 int u=q.front();q.pop(); 42 for(int i=head[u];i;i=Next[i]){ 43 int v=ver[i]; 44 if(dep[v]<0&&edge[i]){ 45 dep[v]=dep[u]+1,q.push(v); 46 if(v==t) return true; 47 } 48 } 49 } 50 return false; 51 } 52 int dfs(int u,int limit){ 53 if(u==t||!limit) return limit; 54 int flow=0,f; 55 for(int i=cur[u];i;i=Next[i]){ 56 int v=ver[i];cur[u]=i; 57 if(dep[v]==dep[u]+1&&(f=dfs(v,min(limit,edge[i])))){ 58 flow+=f,limit-=f; 59 edge[i]-=f,edge[i^1]+=f; 60 if(!limit) break; 61 } 62 } 63 if(!flow) dep[u]=-1; 64 return flow; 65 } 66 void dinic(){ 67 while(bfs()) mxflow+=dfs(s,inf); 68 } 69 void build(){ 70 int x;s=0,t=n*m+1; 71 for(int i=1;i<n;++i) 72 for(int j=1;j<=m;++j){ 73 x=read(),ans+=x; 74 a[i][j]+=x,a[i+1][j]+=x; 75 ins(id[i][j],id[i+1][j],x); 76 } 77 for(int i=1;i<n;++i) 78 for(int j=1;j<=m;++j){ 79 x=read(),ans+=x; 80 b[i][j]+=x,b[i+1][j]+=x; 81 ins(id[i][j],id[i+1][j],x); 82 } 83 for(int i=1;i<=n;++i) 84 for(int j=1;j<m;++j){ 85 x=read(),ans+=x; 86 a[i][j]+=x,a[i][j+1]+=x; 87 ins(id[i][j],id[i][j+1],x); 88 } 89 for(int i=1;i<=n;++i) 90 for(int j=1;j<m;++j){ 91 x=read(),ans+=x; 92 b[i][j]+=x,b[i][j+1]+=x; 93 ins(id[i][j],id[i][j+1],x); 94 } 95 for(int i=1;i<=n;++i) 96 for(int j=1;j<=m;++j){ 97 insert(s,id[i][j],a[i][j]); 98 insert(id[i][j],t,b[i][j]); 99 } 100 } 101 int main(){ 102 //freopen("testdata.in","r",stdin); 103 n=read(),m=read(); 104 for(int i=1;i<=n;++i) 105 for(int j=1;j<=m;++j) 106 a[i][j]=read(),ans+=a[i][j],a[i][j]<<=1; 107 for(int i=1;i<=n;++i) 108 for(int j=1;j<=m;++j) 109 b[i][j]=read(),ans+=b[i][j],b[i][j]<<=1; 110 for(int i=1;i<=n;++i) 111 for(int j=1;j<=m;++j) 112 id[i][j]=(i-1)*m+j; 113 build(),dinic(); 114 printf("%d ",ans-(mxflow>>1)); 115 return 0; 116 }