洛谷P3232 [HNOI2013]游走（高斯消元+期望）

传送门

所以说我讨厌数学……期望不会高斯消元也不会……好不容易抄好了高斯消元板子被精度卡成琪露诺了……

首先，我们先算出走每一条边的期望次数，那么为了最小化期望，就让大的期望次数乘上小编号

边的期望次数是多少呢？可以先算出点的概率

$p(u,v)=frac{p[u]}{d[u]}+frac{p[v]}{d[v]}$

$p[u]$表示经过这个点的期望次数，$d[u]$表示这个点的度数

那么点的期望次数怎么求？

$p[u]=sum_{(u,v)in E}frac{p[v]}{d[v]}$

然后发现这玩意儿会产生环，因为一个点的期望次数需要由它周围的点推出，他周围的点又需要它推出

那么我们考虑列方程，用高斯消元求解

代码如下

for(int i=1;i<n;++i){
    f[i][i]=1.0;
    for(int j=head[i];j;j=Next[j])
    if(ver[j]!=n)
    f[i][ver[j]]=-1/d[ver[j]];
}
f[1][n]=1;

其中$f[i][j]$表示从$j$转移到$i$的期望次数

这个方程实际上是$这个点的期望次数*1-所有相邻的点转移过来的期望次数=0$

然后因为一开始在第一个点，所以第一个点必定到，设为$f[1][n]=1$

//minamoto
#include<iostream>
#include<cstdio>
#include<algorithm>
#include<cmath>
using namespace std;
#define getc() (p1==p2&&(p2=(p1=buf)+fread(buf,1,1<<21,stdin),p1==p2)?EOF:*p1++)
char buf[1<<21],*p1=buf,*p2=buf;
inline int read(){
    #define num ch-'0'
    char ch;bool flag=0;int res;
    while((ch=getc())>'9'||ch<'0')
    (ch=='-')&&(flag=true);
    for(res=num;(ch=getc())<='9'&&ch>='0';res=res*10+num);
    (flag)&&(res=-res);
    #undef num
    return res;
}
const int N=605;const double eps=1e-7;
int ver[N*N*2],Next[N*N*2],from[N*N*2],to[N*N*2],head[N],tot,n,m;
double d[N],f[N][N],ans[N],sum,E[N*N*2];
inline void add(int u,int v){
    ver[++tot]=v,Next[tot]=head[u],head[u]=tot;
}
void gauss(){
    for(int i=1;i<n;++i){
        int k=i;
        for(int j=i+1;j<n;++j)
        if(fabs(f[k][i])<fabs(f[j][i])) k=j;
        if(k!=i) swap(f[i],f[k]);
        double div=f[i][i];
        for(int j=i;j<=n;++j) f[i][j]/=div;
        for(int j=i+1;j<n;++j){
            double t=f[j][i];
            for(int k=1;k<n+1;++k)
            f[j][k]-=t*f[i][k];
        }
    }
    for(int i=n-1;i;--i){
        for(int j=i+1;j<n;++j)
        f[i][n]-=f[i][j]*ans[j];
        ans[i]=f[i][n]/f[i][i];
    }
}
int main(){
//    freopen("testdata.in","r",stdin);
    n=read(),m=read();
    for(int i=1,u,v;i<=m;++i){
        u=read(),v=read();add(u,v),add(v,u);
        d[u]+=1,d[v]+=1;
        from[i]=u,to[i]=v;
    }
    for(int i=1;i<n;++i){
        f[i][i]=1.0;
        for(int j=head[i];j;j=Next[j])
        if(ver[j]!=n)
        f[i][ver[j]]=-1/d[ver[j]];
    }
    f[1][n]=1;
    gauss();
    for(int i=1;i<=m;++i)
    E[i]=ans[from[i]]/d[from[i]]+ans[to[i]]/d[to[i]];
    sort(E+1,E+1+m);
    for(int i=1;i<=m;++i) sum+=E[i]*(m-i+1.0);
    printf("%.3lf
",sum);
    return 0;
}