洛谷P3338 [ZJOI2014]力（FFT）

传送门

题目要求$$E_i=frac{F_i}{q_i}=sum_{j=1}^{i-1}frac{q_j}{(i-j)^2}-sum_{j=i+1}^nfrac{q_j}{(j-i)^2}$$

令$x_i=frac{1}{i^2}$，则有$$E_i=sum_{j=1}^{i-1} q_j x_{i-j}-sum_{j=i+1}^n q_j x_{j-i}$$

令$p_i=q_{n-i+1}$，则有$$E_i=sum_{j=1}^{i-1} q_j x_{i-j}-sum_{j=i+1}^n p_{n-j+1} x_{j-i}$$

那么不难发现这两个都是卷积（然而我连卷积是啥都不知道）

简单来讲，两个多项式的卷积$(f*g)(n)=sum_{i=0}^nf(i)g(n-i)$，可以发现这个和多项式乘法的某一项系数的值的求法相同

然后只要用FFT求出两个卷积，然后做差就可以了

//minamoto
#include<cstdio>
#include<cmath>
#include<algorithm>
using namespace std;
const int N=3e5+5;const double Pi=acos(-1);
struct complex{
    double x,y;
    complex(double xx=0,double yy=0){x=xx,y=yy;}
    inline complex operator +(complex b){return complex(x+b.x,y+b.y);}
    inline complex operator -(complex b){return complex(x-b.x,y-b.y);}
    inline complex operator *(complex b){return complex(x*b.x-y*b.y,x*b.y+y*b.x);}
}A[N],B[N],C[N];
int n,m,l,r[N],limit=1;
void FFT(complex *A,int type){
    for(int i=0;i<limit;++i)
    if(i<r[i]) swap(A[i],A[r[i]]);
    for(int mid=1;mid<limit;mid<<=1){
        complex Wn(cos(Pi/mid),type*sin(Pi/mid));
        for(int R=mid<<1,j=0;j<limit;j+=R){
            complex w(1,0);
            for(int k=0;k<mid;++k,w=w*Wn){
                complex x=A[j+k],y=w*A[j+mid+k];
                A[j+k]=x+y,A[j+mid+k]=x-y;
            }
        }
    }
}
int main(){
//    freopen("testdata.in","r",stdin);
    scanf("%d",&n);
    while(limit<=n*2) limit<<=1,++l;
    for(int i=0;i<=limit;++i) r[i]=(r[i>>1]>>1)|((i&1)<<(l-1));
    for(int i=1;i<=n;++i)
    scanf("%lf",&A[i].x),B[n+1-i].x=A[i].x,C[i].x=1.0/i/i;
    FFT(A,1),FFT(B,1),FFT(C,1);
    for(int i=0;i<=limit;++i) A[i]=A[i]*C[i],B[i]=B[i]*C[i];
    FFT(A,-1),FFT(B,-1);
    for(int i=0;i<=limit;++i) A[i].x/=limit,B[i].x/=limit;
    for(int i=1;i<=n;++i)
    printf("%.3lf
",A[i].x-B[n-i+1].x);
    return 0;
}