洛谷P4725 【模板】多项式对数函数（多项式运算）

传送门

前置芝士：微积分（有所了解即可）（可以看看这篇，写得非常详细我看了两章就看不下去了）

以下都是一些简单的教程切莫当真，仅供理解，建议看更严谨的

导数：对于一个函数$f(x)$，它的导数$f'(x)$为一个新的函数。简单理解的话，$f'(x)$表示在原函数图像上该点切线的斜率，记为$frac{dy}{dx}$或$frac{d}{dx}f(x)$

积分：对于一个导数$f'(x)$，它所对应的原函数为它的积分，记为$int f'(x)dx$

对于一个多项式$F(x)=sum_{i=0}^na_ix^i$来说（一个多项式实际上可以看做一个函数），它的导数和积分如下
$$F'(x)=sum_{i=1}^nia_ix^{i-1}$$
$$int F(x)=sum_{i=1}^nfrac{a_ix^{i+1}}{i+1}$$

这两个是可以$O(n)$计算的，可以互相转换

然后我们要计算$ln F$，首先因为$ln'(x)=frac{1}{x}$，而这里是一个多项式，根据链式法则（我也不知道什么东西），$frac{dy}{dx}=frac{dy}{du}frac{du}{dx}$，然后把$F(x)$带进去，得$$frac{d}{dx}ln(F(x))=frac{d}{dF(x)}ln(F(x))frac{dF(x)}{dx}$$
$$frac{d}{dx}ln(F(x))=frac{1}{F}F'$$
$$ln(F(x))equiv int F'F^{-1}pmod{x^n}$$
求导和积分的运算代码挺短的……然后剩下的基本就是多项式板子了

//minamoto
#include<iostream>
#include<cstdio>
#include<algorithm>
#define swap(x,y) (x^=y,y^=x,x^=y)
#define mul(x,y) (1ll*x*y%P)
#define add(x,y) (x+y>=P?x+y-P:x+y)
#define dec(x,y) (x-y<0?x-y+P:x-y)
using namespace std;
#define getc() (p1==p2&&(p2=(p1=buf)+fread(buf,1,1<<21,stdin),p1==p2)?EOF:*p1++)
char buf[1<<21],*p1=buf,*p2=buf;
inline int read(){
    #define num ch-'0'
    char ch;bool flag=0;int res;
    while(!isdigit(ch=getc()))
    (ch=='-')&&(flag=true);
    for(res=num;isdigit(ch=getc());res=res*10+num);
    (flag)&&(res=-res);
    #undef num
    return res;
}
char sr[1<<21],z[20];int K=-1,Z;
inline void Ot(){fwrite(sr,1,K+1,stdout),K=-1;}
inline void print(int x){
    if(K>1<<20)Ot();if(x<0)sr[++K]=45,x=-x;
    while(z[++Z]=x%10+48,x/=10);
    while(sr[++K]=z[Z],--Z);sr[++K]=' ';
}
const int N=400005,P=998244353;
inline int ksm(int a,int b){
    int res=1;
    while(b){
        if(b&1) res=mul(res,a);
        a=mul(a,a),b>>=1;
    }
    return res;
}
int n,r[N],A[N],B[N],C[N],D[N],F[N],G[N],O[N];
void NTT(int *A,int type,int len){
    int limit=1,l=0;
    while(limit<len) limit<<=1,++l;
    for(int i=0;i<limit;++i)
    r[i]=(r[i>>1]>>1)|((i&1)<<(l-1));
    for(int i=0;i<limit;++i)
    if(i<r[i]) swap(A[i],A[r[i]]);
    for(int mid=1;mid<limit;mid<<=1){
        int R=mid<<1,Wn=ksm(3,(P-1)/R);O[0]=1;
        for(int j=1;j<limit;++j) O[j]=mul(O[j-1],Wn);
        for(int j=0;j<limit;j+=R){
            for(int k=0;k<mid;++k){
                int x=A[j+k],y=mul(O[k],A[j+k+mid]);
                A[j+k]=add(x,y),A[j+k+mid]=dec(x,y);
            }
        }
    }
    if(type==-1){
        reverse(A+1,A+limit);
        for(int i=0,inv=ksm(limit,P-2);i<limit;++i)
        A[i]=mul(A[i],inv);
    }
}
void Inv(int *a,int *b,int len){
    if(len==1) return (void)(b[0]=ksm(a[0],P-2));
    Inv(a,b,len>>1);int l=len<<1;
    for(int i=0;i<len;++i) C[i]=a[i],D[i]=b[i];
    NTT(C,1,l),NTT(D,1,l);
    for(int i=0;i<l;++i) C[i]=mul(mul(C[i],D[i]),D[i]);
    NTT(C,-1,l);
    for(int i=0;i<len;++i) b[i]=dec(add(b[i],b[i]),C[i]);
}
void Direv(int *A,int *B,int len){
    //求导
    for(int i=1;i<len;++i) B[i-1]=mul(A[i],i);B[len-1]=0; 
}
void Inter(int *A,int *B,int len){
    //积分
    for(int i=1;i<len;++i) B[i]=mul(A[i-1],ksm(i,P-2)),B[0]=0; 
}
void Ln(int *a,int *b,int len){
    Direv(a,A,len),Inv(a,B,len);int l=len<<1;
    NTT(A,1,l),NTT(B,1,l);
    for(int i=0;i<l;++i) A[i]=mul(A[i],B[i]);
    NTT(A,-1,l),Inter(A,b,len);
}
int main(){
//    freopen("testdata.in","r",stdin);
    n=read();
    for(int i=0;i<n;++i) F[i]=read();
    int len;for(len=1;len<n;len<<=1);
    Ln(F,G,len);
    for(int i=0;i<n;++i) print(G[i]);
    Ot();
    return 0;
}