渲染管线中的顶点变换

概述

在图形学渲染管线中，一个顶点坐标，大概要经历局部坐标系、世界坐标系、相机坐标系、裁剪坐标系，最后到窗口坐标系，显示在屏幕上。

在这些过程中，从一个坐标系到另一个坐标系，都需要进行一定的变换。下面，将介绍每次变换的方式。

注意，本文是针对OpenGL的。

局部空间->世界空间

这一变换过程，主要是将模型放置在世界空间中，进行一定的缩放、旋转或平移。这一步比较简单，只要将相应的矩阵作用到模型的局部空间坐标即可。

比如，对模型缩放(left(S_{x},S_{y},S_{z} ight))，然后绕Z轴旋转( heta)度，再进行(left(T_{x},T_{y},T_{z} ight))的平移。注意，这里的变换顺序是不能变的，即要先进行缩放，再进行旋转，最后进行平移。据此，我们可以构建模型变换矩阵。

[M_{model}= egin{bmatrix} 1 & 0 & 0 & T_{x} \ 0 & 1 & 0 & T_{y} \ 0 & 0 & 1 & T_{z} \ 0 & 0 & 0 & 1 \ end{bmatrix} egin{bmatrix} cos{ heta} & -sin{ heta} & 0 & 0 \ sin{ heta} & cos{ heta} & 0 & 0 \ 0 & 0 & 1 & 0 \ 0 & 0 & 0 & 1 \ end{bmatrix} egin{bmatrix} S_{x} & 0 & 0 & 0 \ 0 & S_{y} & 0 & 0 \ 0 & 0 & S_{z} & 0 \ 0 & 0 & 0 & 1 \ end{bmatrix} ]

世界空间->相机空间

首先定义一下相机：

• 坐标为(vec{e})

• 观察方向(vec{g})

• 向上方向(vec{t})

示意图如下所示：

有一个性质注意一下：当相机和相机“看“到的物体一起变换时，相机”看“到的内容是不变的。这样，可以将相机的坐标移动到世界坐标的原点，向上方向对齐世界坐标的Y轴，观察方向对齐世界坐标的-Z轴。然后，对物体进行相同的变换即可。

在数学上，这个过程大概这样：

• 将相机移动到坐标原点
• 旋转观察方向(vec{g})到-Z轴
• 旋转向上方向(vec{t})到Y轴
• 旋转((vec{g} imes vec{t}))到X轴

大体分为两步：先位移，后旋转。即(M_{view} = R_{view}T_{view})。

平移部分：

[T_{view} = egin{bmatrix} 1 & 0 & 0 & -x_{e} \ 0 & 1 & 0 & -y_{e} \ 0 & 0 & 1 & -z_{e} \ 0 & 0 & 0 & 1 \ end{bmatrix} ]

对于旋转部分，先补充一些知识点。对于二维空间来说：

[R_{ heta} = egin{pmatrix} cos{ heta} & -sin{ heta} \ sin{ heta} & cos{ heta} \ end{pmatrix} ]

[R_{- heta} = egin{pmatrix} cos{ heta} & sin{ heta} \ -sin{ heta} & cos{ heta} \ end{pmatrix} = R_{ heta}^mathrm{T} ]

根据定义，旋转( heta)角度和旋转(- heta)角度是互逆的，即：(R_{- heta} = R_{ heta}^{-1})。

所以，对于旋转变换，可以得出旋转矩阵的逆等于它的转置，即：

[R_{ heta}^mathrm{T} = R_{ heta}^{-1} ]

回到上面的旋转部分，直接求相机的坐标轴旋转到世界坐标轴的矩阵不是很方便，但是反过来，求世界坐标轴旋转到相机的坐标轴很容易：

[R_{view}^{-1} = egin{bmatrix} x_{vec{g} imes vec{t}} & x_{vec{t}} & x_{-vec{g}} & 0 \ y_{vec{g} imes vec{t}} & y_{vec{t}} & y_{-vec{g}} & 0 \ z_{vec{g} imes vec{t}} & z_{vec{t}} & z_{-vec{g}} & 0 \ 0 & 0 & 0 & 1 \ end{bmatrix} ]

根据旋转矩阵的逆等于它的转置，得出：

[R_{view} = (R_{view}^{-1})^mathrm{T} = egin{bmatrix} x_{vec{g} imes vec{t}} & y_{vec{g} imes vec{t}} & z_{vec{g} imes vec{t}} & 0 \ x_{vec{t}} & y_{vec{t}} & z_{vec{t}} & 0 \ x_{-vec{g}} & y_{-vec{g}} & z_{-vec{g}} & 0 \ 0 & 0 & 0 & 1 \ end{bmatrix} ]

根据(M_{view} = R_{view}T_{view})，可以得出：

[M_{view} = R_{view}T_{view} = egin{bmatrix} x_{vec{g} imes vec{t}} & y_{vec{g} imes vec{t}} & z_{vec{g} imes vec{t}} & 0 \ x_{vec{t}} & y_{vec{t}} & z_{vec{t}} & 0 \ x_{-vec{g}} & y_{-vec{g}} & z_{-vec{g}} & 0 \ 0 & 0 & 0 & 1 \ end{bmatrix} egin{bmatrix} 1 & 0 & 0 & -x_{e} \ 0 & 1 & 0 & -y_{e} \ 0 & 0 & 1 & -z_{e} \ 0 & 0 & 0 & 1 \ end{bmatrix} ]

相机空间->裁剪空间

在一个顶点着色器运行的最后，期望所有的坐标都能落在一个特定的范围内，且任何在这个范围之外的点都应该被裁剪掉(Clipped)。被裁剪掉的坐标就会被忽略，所以剩下的坐标就将变为屏幕上可见的片段。这也就是裁剪空间(Clip Space)名字的由来。

因为将所有可见的坐标都指定在-1.0到1.0的范围内不是很直观，所以我们会指定自己的坐标集(Coordinate Set)并将它变换回标准化设备坐标系。

由投影矩阵创建的观察箱(Viewing Box)被称为平截头体(Frustum)，每个出现在平截头体范围内的坐标都会最终出现在用户的屏幕上。将特定范围内的坐标转化到标准化设备坐标系的过程（而且它很容易被映射到2D观察空间坐标）被称之为投影(Projection)，因为使用投影矩阵能将3D坐标投影(Project)到很容易映射到2D的标准化设备坐标系中。

这里要注意一下，OpenGL是右手坐标系的，但是在NDC中，是左手坐标系的，这里要特别注意！！！

相机空间转换到裁剪空间，有需要用到投影变换。有两种投影变换：正交投影和透视投影。下面分别介绍一下。

正交投影

我们先定义一个正交投影的视锥体([l,r] imes [b,t] imes [f,n])（注意，n和f都是负数，f是远平面，所以f<n），它是一个长方体。我们需要做的，就是将正交投影的视锥体转换到标准立方体（即标准化设备坐标，([-1,1]^{3})）。注意，这里([f,n])映射到NDC中的[1,-1]。

这里，分成两个步骤：平移和缩放。正交投影的矩阵如下：

[M_{ortho} = egin{bmatrix} frac{2}{r-l} & 0 & 0 & 0 \ 0 & frac{2}{t-b} & 0 & 0 \ 0 & 0 & frac{2}{f-n} & 0 \ 0 & 0 & 0 & 1 \ end{bmatrix} egin{bmatrix} 1 & 0 & 0 & -frac{r+l}{2} \ 0 & 1 & 0 & -frac{t+b}{2} \ 0 & 0 & 1 & -frac{n+f}{2} \ 0 & 0 & 0 & 1 \ end{bmatrix}= egin{bmatrix} frac{2}{r-l} & 0 & 0 & -frac{r+l}{r-l} \ 0 & frac{2}{t-b} & 0 & -frac{t+b}{t-b} \ 0 & 0 & frac{2}{f-n} & -frac{f+n}{f-n} \ 0 & 0 & 0 & 1 \ end{bmatrix} ]

透视投影

对于透视投影，分成两步操作：

• 首先，“压扁”视锥体成一个长方体（n->n,f->f）（(M_{persp->ortho})）；
• 然后，做正交投影操作（(M_{ortho})，即上面的正交投影）。

观察下图：

根据相似三角形的关系，可以得出：

[y^{'} = frac{n}{z}y ]

类似的，可以得出：

[x^{'} = frac{n}{z}x ]

由此，可以得出下面的关系：

[M_{persp->ortho}^{(4 imes 4)} egin{pmatrix} x\ y\ z\ 1\ end{pmatrix}= egin{pmatrix} frac{n}{z}x \ frac{n}{z}y \ unknown \ 1 \ end{pmatrix} ]

下面，说一个齐次坐标的性质：在3D坐标系统中，(left ( x,y,z,1 ight ))，(left ( kx,ky,kz,k eq 0 ight ))，(left ( xz,yz,z^{2},z eq 0 ight ))都表示相同的坐标---(left ( x,y,z ight ))。例如：(left ( 1,0,0,1 ight ))和(left ( 2,0,0,2 ight ))都表示坐标(left ( 1,0,0 ight ))。

所以，有如下关系：

[M_{persp->ortho}^{(4 imes 4)} egin{pmatrix} x\ y\ z\ 1\ end{pmatrix}= egin{pmatrix} frac{n}{z}x \ frac{n}{z}y \ unknown \ 1 \ end{pmatrix} = egin{pmatrix} nx \ ny \ unknown \ z \ end{pmatrix} ]

更进一步的，可以得到：

[M_{persp->ortho} = egin{pmatrix} n & 0 & 0 & 0 \ 0 & n & 0 & 0 \ ? & ? & ? & ? \ 0 & 0 & 1 & 0 \ end{pmatrix} ]

现在，还剩下第三列是未知的。

经过观察上面的透视投影视锥体，可以得出以下推论：

1. 近平面上的点的坐标都不会改变；

2. 远平面上的点，Z坐标不改变。

根据推论1，近平面上的点(left (x,y,n,1 ight ))经过变换后，不会改变。即：

[M_{persp->ortho} egin{pmatrix} x \ y \ n \ 1 \ end{pmatrix} = egin{pmatrix} x \ y \ n \ 1 \ end{pmatrix} = egin{pmatrix} nx \ ny \ n^{2} \ n \ end{pmatrix} ]

根据：

[M_{persp->ortho} egin{pmatrix} x\ y\ z\ 1\ end{pmatrix}= egin{pmatrix} nx \ ny \ unknown \ z \ end{pmatrix} ]

因为(n^{2})与x和y都没有关系，所以可以得出(M_{persp->ortho})的第三列的形式是(left (0,0,A,B ight ))。

根据：

[left(0,0,A,B ight) egin{pmatrix} x \ y \ n \ 1 \ end{pmatrix} = n^{2} ]

可以得出：

[An+B = n^{2} ]

根据推论2，远平面的中心点(left (0,0,f,1 ight))，经过变换后，还是本身。如下：

[M_{persp->ortho} egin{pmatrix} 0 \ 0 \ f \ 1 \ end{pmatrix} = egin{pmatrix} 0 \ 0 \ f \ 1 \ end{pmatrix} = egin{pmatrix} 0 \ 0 \ f^{2} \ f \ end{pmatrix} ]

所以，可以得出：

[left(0,0,A,B ight) egin{pmatrix} 0 \ 0 \ f \ 1 \ end{pmatrix} = f^{2} ]

即：

[Af + B = f^{2} ]

到这里，可以得出方程组：

[egin{cases} An + B = n^{2} \ Af + B = f^{2} \ end{cases} Rightarrow egin{matrix} A = n + f \ B = -nf \ end{matrix} ]

到这里，可以得出(M_{persp->ortho}):

[M_{persp->ortho} = egin{bmatrix} n & 0 & 0 & 0 \ 0 & n & 0 & 0 \ 0 & 0 & n+f & -nf \ 0 & 0 & 1 & 0 \ end{bmatrix} ]

最终，透视投影矩阵：

[M_{persp} = M_{ortho}M_{persp->ortho} = egin{bmatrix} frac{2n}{r-l} & 0 & frac{l+r}{l-r} & 0 \ 0 & frac{2n}{t-b} & frac{b+t}{b-t} & 0 \ 0 & 0 & frac{f+n}{f-n} & frac{2nf}{n-f} \ 0 & 0 & 1 & 0 \ end{bmatrix} ]

裁剪空间->窗口空间

在裁剪空间的最后，所以的可见的点都在标准设备坐标系（NDC）中，即坐标坐落在范围([-1,1]^{3})内。

先不考虑Z轴的变换。

从NDC到窗口空间，需要经过视口变换。定义一个屏幕空间：(left (0,0,w,h ight))。平面左下角的坐标位(left (0,0 ight))，右上角的坐标为(left (w,h ight))。对于X和Y坐标的变换，即从(left(-1,1 ight) imes left(-1,1 ight))到(left(0,w ight) imes left(0,h ight))。

这里，经过两步变换：

1. 将NDC的中心平移到窗口的中心；

   [T_{viewport} = egin{pmatrix} 1 & 0 & 0 & frac{w}{2} \ 0 & 1 & 0 & frac{h}{2} \ 0 & 0 & 1 & 0 \ 0 & 0 & 0 & 1 \ end{pmatrix} ]

2. 将NDC的大小缩放到屏幕的大小。

[R_{viewport} = egin{pmatrix} frac{w}{2} & 0 & 0 & 0 \ 0 & frac{h}{2} & 0 & 0 \ 0 & 0 & 1 & 0 \ 0 & 0 & 0 & 1 \ end{pmatrix} ]

合并到一起：

[M_{viewport} = R_{viewport}T_{viewport} = egin{pmatrix} frac{w}{2} & 0 & 0 & frac{w}{2} \ 0 & frac{h}{2} & 0 & frac{h}{2} \ 0 & 0 & 1 & 0 \ 0 & 0 & 0 & 1 \ end{pmatrix} ]

对于Z坐标，从(left(-1,1 ight))映射到了(left(0,1 ight))。这里只是简单的线性映射。假设(z^{'} = Az+B)，当(z)等于-1时，(z^{'})等于0；当(z)等于1时，(z^{'})等于1。可得如下方程组：

[egin{cases} A(-1) + B = 0 \ A(1) + B = 1 \ end{cases} Rightarrow egin{cases} A = frac{1}{2} \ B = frac{1}{2} \ end{cases} ]

所以，(z^{'} = frac{1}{2}z + frac{1}{2})。代入上述(M_{viewport})矩阵，可得：

[M_{viewport} = egin{pmatrix} frac{w}{2} & 0 & 0 & frac{w}{2} \ 0 & frac{h}{2} & 0 & frac{h}{2} \ 0 & 0 & frac{1}{2} & frac{1}{2} \ 0 & 0 & 0 & 1 \ end{pmatrix} ]

参考

• [1] GAMES101-现代计算机图形学入门-闫令琪

• [2] OpenGL Projection Matrix

• [3] Steve Marschner and Peter Shirley，“Fundamentals of Computer Graphics”