概述
在渲染管线中的顶点变换中，介绍了顶点在各个坐标空间的变换。变换到最后，是屏幕坐标空间。在OpenGL中，屏幕空间坐标的Z值即是深度缓冲中的深度值。深度缓冲包含了一个介于0.0和1.0之间的深度值，它将会与观察者视角所看见的场景中所有物体的z值进行比较。本文将介绍深度值的计算，以及从深度值反向计算出相机空间中的顶点的Z值。
深度值计算
在渲染管线中的顶点变换中，计算得到了透视投影矩阵：
[M_{persp} =
egin{bmatrix}
frac{2n}{r-l} & 0 & frac{l+r}{l-r} & 0 \
0 & frac{2n}{t-b} & frac{b+t}{b-t} & 0 \
0 & 0 & frac{f+n}{f-n} & frac{2nf}{n-f} \
0 & 0 & 1 & 0 \
end{bmatrix}
]
同时，也得到了视口变换矩阵：
[M_{viewport} =
egin{bmatrix}
frac{w}{2} & 0 & 0 & frac{w}{2} \
0 & frac{h}{2} & 0 & frac{h}{2} \
0 & 0 & frac{1}{2} & frac{1}{2} \
0 & 0 & 0 & 1 \
end{bmatrix}
]
首先，根据透视矩阵，计算NDC空间的Z值。这里，相机空间中的坐标经过透视矩阵变换后，还要进行齐次除法，才能得到NDC空间中的坐标。
[egin{pmatrix}
x_{clip} \
y_{clip} \
z_{clip} \
w_{clip} \
end{pmatrix} =
M_{persp}
egin{pmatrix}
x_{eye} \
y_{eye} \
z_{eye} \
w_{eye} \
end{pmatrix}
]
[egin{pmatrix}
x_{ndc} \
y_{ndc} \
z_{ndc} \
end{pmatrix} =
egin{pmatrix}
frac{x_{clip}}{w_{clip}} \
frac{y_{clip}}{w_{clip}} \
frac{z_{clip}}{w_{clip}} \
end{pmatrix}
]
由此，可以得出：
[egin{equation}
egin{aligned}
z_{ndc} &= frac{frac{f+n}{f-n}z_{eye}+frac{-2nf}{f-n}}{z_{eye}} \
&=frac{f+n}{f-n}+frac{-2nf}{z_{eye}(f-n)}
end{aligned}
ag{1}
end{equation}
]
根据上述公式，可以得出：
[z_{eye} = frac{2nf}{(f+n)-z_{ndc}(f-n)} ag{2}
]
根据视口变换矩阵，可以得出：
[z_{win} = frac{1}{2}z_{ndc}+frac{1}{2} ag{3}
]
将(left(1
ight))带入(left(3
ight))，可以得到：
[egin{aligned}
z_{win} &= frac{1}{2}(z_{ndc}+1) \
&=frac{1}{2}(frac{f+n}{f-n}+frac{-2nf}{z_{eye}(f-n)} + 1) \
&=frac{f-frac{nf}{z_{eye}}}{f-n} \
&= frac{frac{1}{n}-frac{1}{z_{eye}}}{frac{1}{n}-frac{1}{f}}
end{aligned}
]
即：
[z_{win} = frac{frac{1}{n}-frac{1}{z_{eye}}}{frac{1}{n}-frac{1}{f}} ag{4}
]
到这一步，即可以求得屏幕空间中的深度。
在Learn OpenGL CN学习过的，可能对深度测试这一节的内容有些印象。它得到的深度值的公式是：
[F_{depth} = frac{1/z - 1/near}{1/far - 1/near}
]
跟(left(4
ight))式对比，发现有些不一样，这是怎么回事呢？
这里要注意，本文定义的(n)、(f)和(z_{eye})是实际的坐标值，是负的。而深度测试文中，定义的(near)、(far)代表了近平面和远平面，而(z)代表了近、远平面之间的值，它们都是正的。将(n=-near)、(f=-far)、(z_{eye}=-z)代入(left(4
ight))式，可得：
[egin{aligned}
F_{depth} &= z_{win} \
&= frac{frac{1}{n}-frac{1}{z_{eye}}}{frac{1}{n}-frac{1}{f}} \
&= frac{frac{1}{-near}-frac{1}{-z}}{frac{1}{-near}-frac{1}{-far}} \
&= frac{frac{1}{z}-frac{1}{near}}{frac{1}{far}-frac{1}{near}}
end{aligned}
]
深度值的线性可视化
经过上面的推导，我们得出了深度值的计算公式。
现在，反过来，我们知道了屏幕空间中的深度值，怎么求出相机空间中的深度值呢？
首先，根据(left(3
ight))，可以推导出：
[z_{ndc} = 2z_{win}-1
]
对于公式2，得出的是实际坐标的(Z)值。为了和OpenGL中的定义统一，也将(near)、(far)和(z)代入公式(left(2
ight))，可以得到：
[egin{equation}
egin{aligned}
z_{eye} &= frac{2(-near)(-far)}{((-far)+(-near))-z_{ndc}((-far)-(-near))} \
&= frac{2nearfar}{-(far+near)-z_{ndc}(near-far)} \
end{aligned}
ag{5}
end{equation}
]
在深度测试这一节中，得出的公式是：
[float quad linearDepth = (2.0 * near * far) / (far + near - z * (far - near));
]
对比发现，跟公式(left(5
ight))有些不一样。这是因为，(linearDepth)求出的是顶点距离相机的距离，是正值。而(z_{eye})是顶点的实际坐标，是负值，将(z_{eye})取反，即可得到(linearDepth)。
[egin{aligned}
linearDepth &= -z_{eye} \
&= frac{2nearfar}{(far+near)-z_{ndc}(far-near)}
end{aligned}
]
至此，推导完成。
参考