LCA（最近公共祖先）--tarjan离线算法 hdu 2586

HDU 2586 How far away ？

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Problem Description

 

There are n houses in the village and some bidirectional roads connecting them. Every day peole always like to ask like this "How far is it if I want to go from house A to house B"? Usually it hard to answer. But luckily int this village the answer is always unique, since the roads are built in the way that there is a unique simple path("simple" means you can't visit a place twice) between every two houses. Yout task is to answer all these curious people.

 

Input

First line is a single integer T(T<=10), indicating the number of test cases.
  For each test case,in the first line there are two numbers n(2<=n<=40000) and m (1<=m<=200),the number of houses and the number of queries. The following n-1 lines each consisting three numbers i,j,k, separated bu a single space, meaning that there is a road connecting house i and house j,with length k(0<k<=40000).The houses are labeled from 1 to n.
  Next m lines each has distinct integers i and j, you areato answer the distance between house i and house j.

 

Output

For each test case,output m lines. Each line represents the answer of the query. Output a bland line after each test case.

 

Sample Input

2 3 2 1 2 10 3 1 15 1 2 2 3 2 2 1 2 100 1 2 2 1

 

Sample Output

10 25 100 100

 

Source

ECJTU 2009 Spring Contest 

解析：tarjan离线算法求LCA：

概念描述：

LCA（Least Common Ancestors）：即最近公共祖先，是指这样一个问题：在有根树中，找出某两个结点u和v的所有祖先中距离（u，v）最近的那个公共祖先（也就是离根最远的那个公共祖先）。

 

时间和空间复杂度：

• 时间复杂度：当询问次数为Q，节点数为N时，时间复杂度为O(N+Q)。
• 空间复杂度：①建图时存储的空间大小（树的节点个数个空间）；②深搜时遍历树时需要的空间大小（树的最大深度）

 

算法实现基于基本原理：

算法是基于DFS和并查集来实现的。

 

算法流程 及 对求LCA（u,v）的证明：

1. 从根节点（root）开始深搜，
2. 对于新搜索到的一个节点（x），首先创建由这个结点构成的集合（由par数组维护，par[x]=x，当前这个集合中只有元素x），
3. 然后依次搜索并处理该节点包含的所有子树（搜素和处理是个递归的过程。结合第5点理解：每搜索完一棵子树，则可确定子树内的LCA询问都已解，其他的LCA询问的结果必然在这个子树之外。）
   
4. 当搜索完该节点的所有子树以后，在回溯时，把当前节点的par[x]=（x的父亲节点）（集合归并）
5. 然后开始处理原先所有询问中包含了该节点的所有询问及求LCA(u,?)（体现了离线算法，对询问次序按深搜时遍历到的节点顺序进行重组）
   • 在处理包含该节点的询问中，先判断当前正在处理的这条询问(求LCA（u,v）)中另一个节点（v）是否也已经被遍历过，
   • 若还未遍历，则暂不处理；否则LCA（u,v）= FindPar（par[v]）（并查集）。（证明：因为v是在遍历到u（也就是当前的x节点）之前先遍历到了。如果有一个从当前结点（u）到结点v的询问，且v已被检查过，则由于进行的是深度优先搜索，当前结点与v的最近公共祖先一定还没有被检查，而这个最近公共祖先的包涵v的子树一定已经搜索过了，那么这个最近公共祖先一定是v所在集合的祖先。)
   • 包含该节点的所有询问全部处理完毕

 

<具体结合遍历和并查集的归并的顺序理解,见图>

处理LCA（3,4):因为3在遍历到4之前先被访问到，所以LCA（3，4）=FindPar（par[3]）=3；（此时对LCA（4，5）的询问操作暂被跳过。

处理LCA（5，4）：因为4在遍历到5之被访问，所以LCA（5，4）=Find(par[4])=2

扩展：求树上两点（u，v）间的最短距离

     求树上两点间u，v的最短距离的方法：记dis[u]为u到根节点的距离

     那么u到v之间的距离：ans[u][v]=dis[u]+dis[v]-2*dis[lca[u][v]]（减去到根节点的公共距离的两倍）;

题解：

#include<cstring>
#include<iostream>
using namespace std;
#include<cstdio>
#define M 201
#include<vector>
#define N 40100
vector <int> que[N];/*储存询问队列*/
int ans[M];/*存着答案*/
int n,m,u,v,k;
struct Edge{
    int v,last,w;/*边表*/
}edge[N*2];
int head[N],dis[N]={0};
int T,t=0;
int father[N],ance[N];/*father[N]表示当前的处理的子树，ance代表这个点当前的祖先*/
bool visit[N],root[N];/*visit判断当前的点的子树lca是否求过，root是寻找根节点*/
void add_edge(int u,int v,int w)
{
    ++t;
    edge[t].v=v;
    edge[t].w=w;
    edge[t].last=head[u];
    head[u]=t;
}
void input()
{
    memset(visit,false,sizeof(visit));
    memset(root,false,sizeof(root));
    memset(head,0,sizeof(head));
    memset(dis,0,sizeof(dis));
    memset(edge,0,sizeof(edge));
    scanf("%d%d",&n,&m);
    for(int i=1;i<=n-1;++i)
    {
        scanf("%d%d%d",&u,&v,&k);
        add_edge(u,v,k);
        root[v]=true;
        ance[i]=i;/*初始化*/
        father[i]=i;
    }
    for(int i=1;i<=m;++i)
    {
        scanf("%d%d",&u,&v);
        que[u].push_back(i);/*因为离线算法求出结果是无法知道他的查询顺序的，但是我们要按照查询顺序输出，所以就在查询序列的偶数位存着下一位的在ans的顺序*/
        que[u].push_back(v);
        que[v].push_back(i);
        que[v].push_back(u);
    }
}
int find(int x)
{
    return (father[x]==x)?father[x]:father[x]=find(father[x]);
}
void tarjan(int k,int w)
{
    ance[k]=k;
    dis[k]=w;
    for(int l=head[k];l;l=edge[l].last)
    {
        tarjan(edge[l].v,dis[k]+edge[l].w);
        father[edge[l].v]=k;/*father存着当前点与全部的子树上的集合，同时把子树直接点的祖先设为k，所以查询一个子树上的点的区间的时候，要先用find找出代表元素，再求祖先*/
        ance[edge[l].v]=k;
    }
    visit[k]=true;
    int size=que[k].size();
    for(int i=1;i<size;i+=2)
    {
        if(visit[que[k][i]])/*如果这条边的另一个点的lca已经求出来，那么这个点所在集合的祖先就是这两个点的最近公共祖先*/
        {
            int zu=ance[find(que[k][i])];
            ans[que[k][i-1]]=dis[k]+dis[que[k][i]]-2*dis[zu];
        }
    }
}
int main()
{
    scanf("%d",&T);
    while(T--)
    {
        input();
        for(int i=1;i<=n;++i)
        {
            if(!root[i])/*从根节点开始深搜*/
            {
                tarjan(i,0);
                break;
            }
        }
        for(int i=1;i<=m;++i)
          printf("%d
",ans[i]);
    }
    return 0;
}